高三数学试题精选届高考数学导数复习题含答案解析Word下载.docx
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2.(2018江西)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为=2x+1,则曲线=f(x)在点(1,f
(1))处切线的斜率为()
A.4B.-14c.2D.-12
解析f′(x)=g′(x)+2x
∵=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为=2x+1,
∴g′
(1)=2,∴f′
(1)=g′
(1)+2×
1=2+2=4,
∴=f(x)在点(1,f
(1))处切线斜率为4
3.(2018辽宁)曲线=xx-2在点(1,-1)处的切线方程为()
A.=x-2B.=-3x+2
c.=2x-3D.=-2x+1
答案D
解析′=(xx-2)′=-2(x-2)2,
∴=′|x=1=-2
l+1=-2(x-1),则=-2x+1故选D
4.曲线=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()
A94e2B.2e2c.e2De22
解析∵′=ex,∴=ex在点(2,e2)的导数为e2
∴=ex在点(2,e2)的切线方程为=e2x-e2
=e2x-e2与x轴、轴的交点分别为(1,0)和(0,-e2),∴S=12×
1×
e2=e22故选D
5.已知函数=f(x),=g(x)的导函数的图象如图,那么=f(x),=g(x)的图象可能是
()
解析由题意知函数f(x),g(x)都为增函数,当x<x0时,由图象知f′(x)>g′(x),即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度;
当x>x0时,f′(x)<g′(x),g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度,数形结合,选D
6.设=8x2-lnx,则此函数在区间(0,14)和(12,1)内分别()
A.单调递增,单调递减
B.单调递增,单调递增
c.单调递减,单调递增
D.单调递减,单调递减
答案c
解析′=16x-1x
当x∈(0,14)时,′<0,=8x2-lnx为减函数;
当x∈(12,1)时,′>0,=8x2-lnx为增函数.
7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是()
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};
②f(-2)是极小值,f
(2)是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
A.①③B.①②③
c.②D.①②
解析由f(x)>0(2x-x2)ex>02x-x2>00<x<2,故①正确;
f′(x)=ex(2-x2),由f′(x)=0得x=±
2,
由f′(x)<0得x>2或x<-2,
由f′(x)>0得-2<x<2,
∴f(x)的单调减区间为(-∞,-2),(2,+∞).
单调增区间为(-2,2).
∴f(x)的极大值为f
(2),极小值为f(-2),故②正确.
∵x<-2时,f(x)<0恒成立.
∴f(x)无最小值,但有最大值f
(2).
∴③不正确.
8.已知f(x)=-x3-x,x∈[,n],且f()f(n)<0,则方程f(x)=0在区间[,n]上()
A.至少有三个实根B.至少有两个实根
c.有且只有一个实根D.无实根
9.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()
A.-1<a<2B.-3<a<6
c.a<-3或a>6D.a<-1或a>2
解析由于f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有f′(x)=3x2+2ax+(a+6).
若f(x)有极大值和极小值,
则Δ=4a2-12(a+6)>0,
从而有a>6或a<-3,故选c
10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20c,要使其体积最大,其高应为()
A2033cB.100c
c.20cD203c
解析设高为h,则半径为202-h2,
体积V=13πr2h=13π(202-h2)h
=-13πh3+2023πh(0<h<20),
V′=-πh2+2023π
令V′=0,得h=2033或h=-2033(舍去),
即当h=2033时,V为最大值.
11.(2018河南省实验中学)若函数f(x)=(2-)xx2+的图象如图所示,则的范围为()
A.(-∞,-1)B.(-1,2)
c.(1,2)D.(0,2)
解析f′(x)=(x2-)(-2)(x2+)2
=(x-)(x+)(-2)(x2+)2
由图知-2<0,且>0,故0<<2,
又>1,∴>1,因此1<<2,选c
12.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1f′(x)为f(x)的导函数,已知函数=f′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则b+2a+2的取值范围是()
A.(13,12)
B.(-∞,12)∪(3,+∞)
c.(12,3)
D.(-∞,-3)
解析由=f′(x)的图象知,当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
两正数a,b满足f(2a+b)<1,f(4)=1,
点(a,b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界),b+2a+2的意义为阴影部分的点与点A(-2,-2)连线的斜率,直线AB、Ac的斜率分别为12、3,则b+2a+2的取值范围是(12,3),故选c
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在题中的横线上。
13.(2018武汉模拟)函数=xln(-x)-1的单调减区间是________.
答案(-1e,0)
14.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为,,则-=________
答案32
解析令f′(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2,
列表得
x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3
f′(x)+0-0+
f(x)17
极值24
极值-8
-1
可知=24,=-8,∴-=32
15.(2018南京一调)已知函数f(x)=ax-x4,x∈[12,1],A、B是其图象上不同的两点.若直线AB的斜率总满足12≤≤4,则实数a的值是________.
答案92
解析f′(x)=a-4x3,x∈[12,1],由题意得12≤a-4x3≤4,即4x3+12≤a≤4x3+4在x∈[12,1]上恒成立,求得92≤a≤92,则实数a的值是92
16.(2018淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是________.
答案(-1,0)
解析结合二次函数图象知,
当a>0或a<-1时,在x=a处取得极小值,
当-1<a<0时,在x=a处取得极大值,故a∈(-1,0).
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出字说明、演算步骤或证明过程。
17.(本小题满分10分)设a为大于0的常数,函数f(x)=x-ln(x+a).
(1)当a=34,求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)若使函数f(x)为增函数,求a的取值范围.
解析
(1)当a=34时,f′(x)=12x-1x+34,
令f′(x)=0,则x-2x+34=0,∴x=94或14,
当x∈[0,14]时,f′(x)0,当x∈(14,94),f′(x)0,
当x∈(94,+∞)时,f′(x)0,
∴f(x)极大值=f(14)=12,f(x)极小值=f(94)=32-ln3
(2)f′(x)=12x-1x+a,若f(x)为增函数,则当x∈[0,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,
∴12x≥1x+a,即x+a≥2x,
即a≥2x-x=-(x-1)2+1恒成立,
∴a≥1
18.(本小题满分12分)已知函数=f(x)=lnxx
(1)求函数=f(x)的图象在x=1e处的切线方程;
(2)求=f(x)的最大值;
(3)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.
解析
(1)∵f(x)定义域为(0,+∞),∴f′(x)=1-lnxx2
∵f(1e)=-e,又∵=f′(1e)=2e2,
∴函数=f(x)的在x=1e处的切线方程为
+e=2e2(x-1e),即=2e2x-3e
(2)令f′(x)=0得x=e
∵当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数,
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,则在(e,+∞)上为减函数,
∴fax(x)=f(e)=1e
(3)∵a>0,由
(2)知
F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)in=in{F(a),F(2a)},
∵F(a)-F(2a)=12lna2,
∴当0<a≤2时,F(a)-F(2a)≤0,fin(x)=F(a)=lna
当a>2时,F(a)-F(2a)>0,f(x)in=f(2a)=12ln2a
19.(本小题满分12分)设a>0,函数f(x)=x-ax2+1+a
(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
解析
(1)对函数f(x)求导数,得f′(x)=1-axx2+1
要使f(x)在区间(0,1]上是增函数,又要f′(x)=1-axx2+1≥0在(0,1]上恒成立,
即a≤x2+1x=1+1x2在(0,1]上恒成立.
因为1+1x2在(0,1]上单调递减,
所以1+1x2在(0,1]上的最小值是2
注意到a>0,所以a的取值范围是(0,2].
(2)①当0<a≤2时,由
(1)知,f(x)在(0,1]上是增函数,
此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f
(1)=1+(1-2)a
②当a>2时,令f′(x)=1-axx2+1=0,
解得x=1a2-1∈(0,1).
因为当0<x<1a2-1时,f′(x)>0;
当1a2-1<x<1时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,1a2-1)上单调递增,在(1a2-1,1)上单调递减.
此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1a2-1)=a-a2-1
综上所述,当0<a≤2时,f(x)在区间(0,1]上的最大值是1+(1-2)a;
当a>2时,f(x)在区间(0,1]上的最大值是a-a2-1
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(x>0)
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?
证明你的结论;
(2)若当x>0时,f(x)>x+1恒成立,求正整数的最大值.
解析
(1)f′(x)=1x2[xx+1-1-ln(x+1)]=-1x2[1x+1+ln(x+1)].
由x>0,x2>0,1x+1>0,ln(x+1)>0,得f′(x)<0
因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(2)解法一当x>0时,f(x)>x+1恒成立,令x=1有<2[1+ln2].
又为正整数.则的最大值不大于3
下面证明当=3时,f(x)>x+1(x>0)
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