企业生产计划的优化及Matlab实现Word文件下载.docx
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连德忠(副教授)
2011年3月10日
【摘要】线性规划在生产和生活中起到了重大作用。
本文提出了建立企业生产计划优化线性规划模型,在给出线性规划模型的基础上,通过实例介绍了建立模型和模型求解的一般方法;
并应用Matlab软件进行求解,进而指导生产。
在实际问题中,根据企业各种资源的限制,利用线性规划方法建立生产排产计划数学模型,通过解模型对企业生产做出最优化的安排,使企业利润最大化[1]。
【关键字】生产计划线性规划Matlab利润
OptimizationofproductionplanningandtheuseofMatlabsoftwaretoimplement
【Abstract】Linearprogramminginproductionandlifeplaysanimportantrole.Thispaperhasproposedanlinearprogrammingmodeltoestablishingtheenterprise'
sproductionplan,basedonagivenlinearprogrammingmodel,introducesthemodelandthegeneralmethodofsolvingthemodel;
andapplyMatlabsoftwaretodirecttheproduction.Inpracticalproblems,basedontheresourcelimitationofenterprises,thepaperestablishesmathematicmodelforproductionplanningwithlinearprogrammingandprovidestheoptimizedsolutionforproductionscheduletoachievemaximumprofitthroughsolvingthemodel.
【Keywords】productionplanlinearprogrammingMatlabprofit
引言
随着经济优化理论知识和线性规划方法的更紧密结合,关于线性规划的研究越来越深入,线性规划在企业优化中的应用范围也越来越广泛。
线性规划已广泛应用于工业、农业、商业及交通运输等各行业的经营管理领域,特别是电子计算机的发展与普及,Matlab软件的产生为线性规划的迅速发展和推广应用创造了有利条件。
而最优化问题一般形式的数学模型是考虑在某些约束条件下寻找某个目标函数的最大(或最小)值,其解法称为最优化方法。
线性规划方法是解决很多最优化问题的有效方法之一[2]。
线性规划问题的最优解还具有深刻的经济学内涵,用以诠释资源最优配置,能够定量化清晰说明资源应该集聚使用的经济学意义,突出稀缺资源相比优势资源对提高资源配置效益的作用,得出非资源性约束对资源配置效益有着深远影响的结论。
依托优势资源,重点解决稀缺资源制约瓶颈,着力改善非资源性因素影响,这是提高资源配置效益实现区域产业结构优化的基本策略。
企业的效益依赖于资源配置的优化,即依赖于线性规划模型的优化。
因此,从某种意义上讲,学习线性规划的应用比学习线性规划的方法更为重要,而把实际问题转化为线性规划问题,即建立线性规划数学模型是解决问题的关键[3]。
一、线性规划的基本概念
1.1线性规划的发展
线性规划的思想在1832年被法国数学家傅里叶首次提出,1939年苏联数学家坎托罗维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》等论文,1947年美国数学家丹齐克首次提出线性规划的概念,并提出了线性规划的一般模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法。
与此同时由于电子计算机的发展,出现了许多线性规划软件如Matlab,可以很方便地求解线性规划问题,使得线性规划的应用范围更加广阔,从解决技术问题的最优设计到众多领域都可以发挥作用[4]。
1.2线性规划
问题的数学模型是求一个线性函数在非负自变量受到线性不等式(或等式)的约束时的极值问题,称之为线性规划。
1.3线性规划模型
建立线性规划模型需要找到问题中的三个要素,找到三个要素的过程也就是建立模型的三个步骤:
(1)根据影响所要达到目标的因素找到决策变量;
(2)由决策变量和所要达到目标之间的函数关系确定目标函数;
(3)找到决策变量的限制条件,即约束条件。
当得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时,该模型称为线性规划模型[5]。
1.4线性规划标准型
实际的线性规划模型有许多类型,但这些模型的目标函数都为线性函数,约束条件为不等式或等式,可归纳为:
(1)一般形式:
Min(max)z=++…+,
s.t.++…+≤(=,≥),
++…+≤(=,≥),
……………………………………
++…+≤(=,≥).
(2)标准形式:
Minz=++…+,
s.t.++…+=,
++…+=,
………………………………
++…+=.
≥0(i=1,2,…,n)
其中,Min(max)z=++…+为目标函数,称为决策变量,称为价值系数或目标函数系数,称为资源常数或约束右端系数,技术系数或约束系数(i=1,2,…,n;
j=1,2,…,n),s.t.表示满足约束条件。
满足约束条件的一组数(,,…,),称为该线性规划模型的可行解,所有可行解的集合称为可行域;
使得目标函数达到最小值的可行解,称为该线性模型的最优解。
把最优解带入目标函数所得到的目标函数的最小值称为最优值[6]。
二、线性规划问题的解法
线性规划问题的求解方法有图解法,理论解法和软件解法。
图解法常用来求解变量较少的线性规划问题。
理论解法需要构建完整的理论体系。
理论解法有:
单纯形法,椭圆算法和Karmarka算法,其中单纯形法是最早提出并使用最多的一种方法。
在第五章将介绍求解线性规问题的MATLAB软件解法。
2.1图解法
为了对线性规划最优解有较直观的了解,对只有两个变量的线性规划问题,用平面上作图的方法来求解,即图解法[7]。
其基本步骤:
(1)作出问题的可行域D;
(2)标出目标函数的梯度方向;
(3)作出目标函数的等值线,使其与可行域D有交点。
若求最大值,将等值线沿梯度方向推进;
求最小值,将等值线沿负梯度方向推进,直至临界状态。
临界等值线与D的交点即为最优解,等值线的值为最优值。
2.2单纯形法
单纯形法的基本思想就是先找一个基本可行解,检验是否为最优解或判断问题无解。
否则,在转换到另一个使目标函数值减少的基可行解上,重复上述过程,直至求到问题的最优解或指出问题无解[8]。
(1)把线性规划模型变成标准型;
(2)确定初始基本可行解,建立初始单纯形表;
(3)检查对应于非基变量的检验数(j=m+1,…,n)。
若所有这些均小于零,
则已得到最优解,停止计算,否则转入下一步;
(4)在所有非负的中,若有一个在单纯形表上对应的列向量的全部元素≤
0(i=1,2,…,m)则此问题无解,停止计算;
否则转入下一步;
(5)确定进基变量与离基变量,从而得到新的基变量。
若max{>
0|j∈N}=,则选取对应的非基变量为进基变量,再计
算{},若={}则可确定基变量为离基变量。
(6)建立新的基相应的单纯形表,然后回到第(3)步。
三、企业生产计划线性规划模型
3.1生产计划决策分析
生产的根本目的就是使企业获得最大利润,生产计划是为生产服务的,所以建立生产计划的数学模型可以以成本最小化或者利润最大化为目标函数。
对于安排生产计划,企业要考虑多方面的约束条件,诸如生产能力约束、生产原料约束、市场需求约束、供应商和客户关系、企业生产成本约束等。
在诸多的约束中,生产企业要优先考虑生产能力和生产原料的约束,在此基础上对企业进行整个生产计划进行安排,还必须综合考虑投产资金、生产成本和利润。
因此建立生产计划的数学模型可以以成本最小化或者利润最大化为目标函数,而生产能力、生产原料和投入资金等作为约束条件。
3.2建立生产计划决策分析的线性规划模型
生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化作为优化目标,明确未知变量,确定约束条件,建立线性规划模型,最终实现企业效益最大化的生产计划[9]。
其一般模式:
目标函数为利润Z=销售收入R-(成本+费用)C
在各约束条件下,使目标函数达到最大值。
分析企业实际生产过程中的日产量情况,设模型的未知变量为企业生产的产品种类日产量(j=1,2,……,n),建立生产计划决策分析线性规划模型的过程如下:
(1)目标函数。
企业进行生产计划决策的目标值是企业利润最大化。
现假设生产各种产品所获得的销售收入与所耗费的产品成本和费用均已知,则可以得出生产计划问题的目标函数为:
MaxZ=(-)+(-)+…+(-)=
(2)原材料约束。
无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料,在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类,增添相应约束条件即可,建立约束不等式:
++…+≤
上式中:
,,…,分别为生产第1,2,…,n种产品的单件原材料消耗,为企业每可用的原材料总量。
(3)生产能力约束。
此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时,而企业在一定时期内可用工时是有限的,所以可建立如下约束不等式:
++…+≤
,,…,分别为生产第1,2,…,n种产品的单件消耗工时,为企业的每可用的工时、原材料总量。
(4)市场需求约束。
为了说明问题的方便,假设企业生产的产品市场都有需求,即++…+≥0,无上限约束。
若第j种产品市场需求有限,最大需求为,则可增加约束≤。
(5)非负约束。
生产实际中最多为不生产产品,知变量(j=1,2,3,…,n)≥0。
综上所述,建立生产计划决策分析的线性规划模型如下:
MaxZ=
s.t.++…+≤,
++…+≤,
…………………………
≥0,j=1,2,3,…,n
四、企业最优化生产计划问题
4.1实际问题
为了研究线性规划模型在企业实际中的应用,给出一则案例如下:
合金企业要用三种原材料A,B,C混合调配两种不同规格的合金甲,乙。
生产每吨合金甲需要原料A20kg、B40kg和C90kg,而生产每吨合金乙需要原料A100kg、B80kg和C60kg。
企业每月从原料市场所得到的三种原料供应量分别为200kg、200kg和360kg。
企业生产每吨合金甲、乙的利润分别为30万元、40万元。
则该企业如何安排生产,才能获得最大利润?
4.2数学模型
设企业每月生产合金甲吨,合金乙种产品吨,利润为z万元,那么有
z=30+40
根据问题有
maxz=max(30+40)
s.t.
可知约束条件变量是反映产量总是非负的。
所求极值问题的解称为最优解。
4.3图解法
4.3.1过程分析
二元一次方程代表平面上的一条直线,而
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- 企业 生产 计划 优化 Matlab 实现