精高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案Word文档下载推荐.docx

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说明：

（1）当θ＝０时，与同向；

（2）当θ＝π时，与反向；

（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。

C

（2）数量积的概念

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·

=︱︱·

︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。

规定；

向量的投影：

︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；

（3）数量积的几何意义：

·

等于的长度与在方向上的投影的乘积。

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：

。

②乘法公式成立

；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：

对实数的结合律成立：

分配律成立：

④向量的夹角：

cos==。

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（5）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·

=。

（6）垂直：

如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·

＝O，平面向量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式

设，则或。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）。

（1）向量在几何中的应用；

（2）向量在物理中的应用。

二．典例分析

（1）若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x）满足条件（8a－b）·

c＝30，则x＝（　　）

A．6　　　　　　　　　　B．5

C．4D．3

（2）（2012·

湖南高考）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·

＝________.

（1）8a－b＝8（1,1）－（2,5）＝（6,3），

所以（8a－b）·

c＝（6,3）·

（3，x）＝30.

即18＋3x＝30，解得x＝4.

（2）法一：

∵＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝2＋＋，又由AP⊥BD得⊥且⊥，

∴·

＝0，且·

＝0于是·

＝·

（2＋＋）＝22＝2||2＝18.

法二：

·

（＋）

（＋＋）

＝2·

＋·

＝2||·

||·

cos，

＝2×

||2＝2×

32＝18.

（1）C　

（2）18　

由题悟法

平面向量数量积问题的类型及求法

（1）已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·

b＝|a||b|·

cosθ求解；

（2）已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

以题试法

1．

（1）（2012·

天津高考）在△ABC中，∠A＝90°

，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ），λ∈R.若·

＝－2，则λ＝（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

选B　由题意可知＝－＝（1－λ）－，＝－＝λ－，且·

＝0，故·

＝－（1－λ）2－λ2＝－2.又||＝1，||＝2，代入上式解得λ＝.

（2）（2011·

江西高考）已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·

b2＝________.

b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，

则b1·

b2＝（e1－2e2）·

（3e1＋4e2）＝3e－2e1·

e2－8e.

又因为e1，e2为单位向量，夹角为，

所以b1·

b2＝3－2×

－8＝3－1－8＝－6.

答案：

－6

两平面向量的夹角与垂直

典题导入

（1）（2012·

福州质检）已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°

，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为（　　）

A．150°

　　　　　　　　B．90°

C．60°

D．30°

新课标全国卷）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

（1）∵a·

b＝1×

2×

cos120°

＝－1，c＝－a－b，∴a·

c＝a·

（－a－b）＝－a·

a－a·

b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.

∴a与c的夹角为90°

.

（2）∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.

又ka－b与a＋b垂直，∴（a＋b）·

（ka－b）＝0，

即ka2＋ka·

b－a·

b－b2＝0.

∴k－1＋ka·

b＝0.

即k－1＋kcosθ－cosθ＝0（θ为a与b的夹角）．

∴（k－1）（1＋cosθ）＝0.又a与b不共线，

∴cosθ≠－1.∴k＝1.

（1）B　

（2）1

若本例

（1）条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．

解：

设|a|＝m（m>

0），a，b的夹角为θ，由题设知（a＋b）2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－.又0°

≤θ≤180°

，所以θ＝120°

，即a，b的夹角为120°

1．求两非零向量的夹角时要注意：

（1）向量的数量积不满足结合律；

（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．

2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·

b及|a|，|b|或得出它们的关系．

2．

（1）设向量a＝（x－1,1），b＝（－x＋1,3），则a⊥（a－b）的一个充分不必要条件是（　　）

A．x＝0或2B．x＝2

C．x＝1D．x＝±

2

（2）已知向量a＝（1,0），b＝（0,1），c＝a＋λb（λ∈R），向量d如图所示，则（　　）

A．存在λ>

0，使得向量c与向量d垂直

B．存在λ>

0，使得向量c与向量d夹角为60°

C．存在λ<

0，使得向量c与向量d夹角为30°

D．存在λ>

0，使得向量c与向量d共线

（1）选B　a＝（x－1,1），a－b＝（x－1,1）－（－x＋1,3）＝（2x－2，－2），故a⊥（a－b）⇔2（x－1）2－2＝0⇔x＝0或2，故x＝2是a⊥（a－b）的一个充分不必要条件．

（2）选D　由图可知d＝4a＋3b＝4，故D正确；

对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有λ<

0；

对于B，若λ>

0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60°

对于C，若λ<

0，则向量c与向量d夹角大于30°

平面向量的模

　（2012·

洛阳统考）已知P为锐角三角形ABC的AB边上一点，A＝60°

，AC＝4，则|＋3|的最小值为（　　）

A．4B．4

C．6D．6

　因为＝－，所以|＋3|2＝|3－4|2＝92－24·

＋162.设||＝x，则|＋3|2＝16×

9－48x＋16x2＝16（x2－3x＋9）．因为三角形ABC是锐角三角形，所以0<

x<

8，则当x＝时，|＋3|2取得最小值为16×

＝108，故|＋3|的最小值为＝6.

　D

利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

（1）|a|2＝a2＝a·

a；

（2）|a±

b|2＝（a±

b）2＝a2±

2a·

b＋b2；

（3）若a＝（x，y）则|a|＝.

3．（2012·

聊城质检）已知向量a＝（sinx,1），b＝.

（1）当a⊥b时，求|a＋b|的值；

（2）求函数f（x）＝a·

（b－a）的最小正周期．

（1）由已知得a·

b＝0，

|a＋b|＝＝＝

＝＝.

（2）∵f（x）＝a·

b－a2＝sinxcosx－－sin2x－1

＝sin2x－－＝sin－2，

∴函数f（x）的最小正周期为π.

平面向量数量积的综合应用

　（2012·

太原模拟）已知f（x）＝a·

b，其中a＝（2cosx，－sin2x），b＝（cosx,1）（x∈R）．

（1）求f（x）的周期和单调递减区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）＝－1，a＝，·

＝3，求边长b和c的值（b>

c）．

（1）由题意知，f（x）＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos，

∴f（x）的最小正周期T＝π，

∵y＝cosx在（k∈Z）上单调递减，

∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋.

∴f（x）的单调递减区间，k∈Z.

（2）∵f（A）＝1＋2cos＝－1，

∴cos＝－1.

又<

2A＋<

，∴2A＋＝π.

∴A＝.

∵·

＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝（b＋c）2－3bc,7＝（b＋c）2－18，b＋c＝5，

又b>

c，∴b＝3，c＝2.

向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．

4．

（1）（2012·

朔州调研）质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°

角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．2

C．2D．6

（2）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（－）·

（＋－2）＝0，则△ABC为（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

（1）选A　由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°

＝28.

因此，|F3|＝2.

（2）选B　由（－）·

（＋－2）＝0，可知·

（＋）＝0，设BC的中点为D，则＋＝2，故·

＝0.所以⊥.又D为BC的中点，故△ABC为等腰三角形．

板书设计

平面向量的数量积及应用

（4）向量夹角的范围0≤≤180。

2.数量积的概念

3.向量的投影：

︱︱cos称为向量在方向上的投影。

4.向量数量积的性质

①。

③向量的夹角：

5.两个向量的数量积的坐标运算