1996年全国高考数学试题.docx
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1996年全国高考数学试题
一九九六年全国高考数学试题
理科试题
一.选择题:
本题共15个小题;第
(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,共65分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集I=N,集合,。
则(C)
(A)(B)(C)(D)
(2)当时,在同一坐标系中,函数与的图象是(A)
(A)y(B)y(C)y(D)y
o1xo1xo1xo1x
(3)若,则x的取值范围是(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)复数等于(B)
(A)(B)(C)(D)
(5)如果直线、与平面、、满足:
和,那么必有(A)
(A)且(B)且
(C)且(D)且
(6)当时,函数的(D)
(A)最大值是1,最小值是-1
(B)最大值是1,最小值是
(C)最大值是2,最小值是-2
(D)最大值是2,最小值是-1
(7)椭圆的两个焦点坐标是(B)
(A)(-3,5),(-3,-3)(B)(3,3),(3,-5)
(C)(1,1),(-7,1)(D)(7,-1),(-1,-1)
(8)若,则等于(A)
(A)(B)(C)(D)
(9)将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=,则三棱锥D-ABC的体积为(D)
(A)(B)(C)(D)
(10)等比数列的首项,前n项和为,若,则等于(B)
(A)(B)(C)2(D)-2
(11)椭圆的极坐标方程为,则它在短轴上的两个顶点的极坐标是(C)
(A)(3,0),(1,)(B)(),()
(C)(2,),(2,)(D)(),()
(12)等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C)
(A)130(B)170(C)210(D)260
(13)设双曲线的半焦距为c,直线过(,0),(0,)两点。
已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为(A)
(A)2(B)(C)(D)
(14)母线长为1的圆锥的体积最大时,其侧面展开图圆心角等于(D)
(A)(B)(C)(D)
(15)设是上的奇函数,,当时,,则等于(B)
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
二.填空题:
本大题共4小题;每小题4分,共16分。
把答案填在题中横线上。
(16)已知圆与抛物线的准线相切。
则p=__________
答:
2
(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_______个(用数字作答)
答:
32
(18)的值是_______
DC
AB
FE
答:
(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答:
三.解答题:
本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
(20)(本小题满分11分)
解不等式
解:
(Ⅰ)当时,原不等式等价于不等式组:
因为所以
(Ⅱ)当时,原不等式等价于不等式组:
由
(1)得,
由
(2)得,
综上,当时,不等式的解集为
当时,不等式的解集为
(21)(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A,B,C满足:
A+C=2B,求的值。
解:
由题设条件知:
B=600,A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式,上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
(22)(本小题满分12分)
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥侧面AC1
AC
B
E
A1C1
B1
(Ⅰ)求证:
BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1,求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数。
注意:
在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ)。
(Ⅰ)证明:
在截面A1EC内,
过E作EG⊥A1C,G是垂足。
AFC
B
G
E
A1C1
DB1
①∵面A1EC⊥侧面AC1,
∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
②∵面ABC⊥侧面AC1,
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG。
③∵BE∥侧面AC1,
∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④∵BE∥AA1,
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤∵AF=FC,
∴FG=AA1=BB1,即BE=BB1,故BE=EB1。
(Ⅱ)解:
分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D
∵EB1∥CC1,EB1=BB1=CC1,
∴DB1=DC1=B1C1=A1B1,
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600,∠DA1B1=∠A1DB1=(1800-∠DB1A1)=300,
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900,即DA1⊥A1C1。
∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=900,
∴∠CA1C1=450,即所求二面角为450。
(23)(本小题满分10分)
某地现有耕地10000公顷。
规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(=,=)
解:
设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷。
依题意得不等式
化简得
答:
按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
(24)(本小题满分12分)
已知是过点P()的两条互相垂直的直线,且与双曲线各有两交点,分别为A1、B1和A2、B2。
(Ⅰ)求的斜率k1的取值范围;
(Ⅱ)若|A1B1|=|A2B2|,求的方程。
解:
(Ⅰ)依题意,的斜率都存在。
因为过点P()且与双曲线有两个交点,故方程组
(1)
有两个不同的解。
在方程组
(1)中消去y,整理得
(2)
若,则方程组
(1)只有一个解,即与双曲线只有一个交点,与题设矛盾。
故,即。
方程
(2)的判别式为
设的斜率为k2,因为过点P()且与双曲线有两个交点,故方程组
(3)
有两个不同的解。
在方程组(3)中消去y,整理得
(4)
同理有,
又因为,所以有
于是,与双曲线各有两个交点,等价于
(Ⅱ)设A1(x1,y1)B1(x2,y2).由方程
(2)知
同理,由方程(4)可求得|A2B2|2,整理得
由|A1B1|=|A2B2|,得|A1B1|2=5|A2B2|2.
将(5)、(6)代入上式得
解得
取时,
取时,
(25)(本小题满分12分)
已知是实数,函数当时,
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)证明:
当时,
(Ⅲ)设当时,的最大值为2,求.
(Ⅰ)证明:
由条件当时,,
取x=0得,即
(Ⅱ)证法一:
当时,在[-1,1]上是增函数,
由此得
当时,在[-1,1]上是减函数,
由此得
当时,
综上得
证法二:
由可得
当时,有
根据含绝对值的不等式的性质,得
即
(Ⅲ)因为时,在[-1,1]上是增函数,
当x=1时取最大值2,
即
因为当时,,即
根据二次函数的性质,直线x=0为的图象的对称轴,由此得
由
(1)得
所以
文科试题
一.选择题:
本题共15个小题;第
(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,共65分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7}集合A={1,3,5,7},B={3,5}.则(C)
(A)(B)(C)(D)
(2)当时,在同一坐标系中,函数与的图象是(A)
(A)y(B)y(C)y(D)y
o1xo1xo1xo1x
(3)若,则x的取值范围是(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)复数等于(B)
(A)(B)(C)(D)
(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(C)
(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种
(6)已知是第三象限角且,则(D)
(A)(B)(C)(D)
(7)如果直线、与平面、、满足:
和,那么必有(A)
(A)且(B)且
(C)且(D)且
(8)当时,函数的(D)
(A)最大值是1,最小值是-1
(B)最大值是1,最小值是
(C)最大值是2,最小值是-2
(D)最大值是2,最小值是-1
(9)中心在原点,准线方程为,离心率为的椭圆方程是
(A)(B)(A)
(C)(D)
(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为2400,该圆锥的体积是(C)
(A)(B)(C)(D)
(11)椭圆的两个焦点坐标是(B)
(A)(-3,5),(-3,-5)(B)(3,3),(3,-5)
(C)(1,1),(-7,1)(D)(7,-1),(-1,-1)
(12)将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=,则三棱锥D-ABC的体积为(D)
(A)(B)(C)(D)
(13)等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C)
(A)130(B)170(C)210(D)260
(14)设双曲线的半焦距为c,直线过(,0),(0,)两点。
已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为(A)
(A)2(B)(C)(D)
(15)设是上的奇函数,,当时,,则等于(B)
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
二.填空题:
本大题共4小题;每小题4分,共16分。
把答案填在题中横线上。
(16)已知点(-2,3)与抛物线的焦点的距离是5,则p=__________
答:
4
(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_______个(用数字作答)
答:
32
(18)的值是_______
DC
AB
FE
答:
(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答:
三.解答题:
本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
(20)(本小题满分11分)
解不等式
解:
(Ⅰ)当时,原不等式等价于不等式组:
(Ⅱ)当时,原不等式等价于不等式组:
综上,当时,不等式的解集为
当时,不等式的解集为
(21)(本小题满分12分)
设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9,求数列的公比q.
解:
q=1,则有S3=3,S6=6,S9=9.但,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故.
又依题意S3+S6=2S9可得
(22)(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A,B,C满足:
A+C=2B,求的值。
解:
由题设条件知:
B=600,A+C=120
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