托勒密定理的三角函数证法.doc
- 文档编号:1416872
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOC
- 页数:2
- 大小:46.50KB
托勒密定理的三角函数证法.doc
《托勒密定理的三角函数证法.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《托勒密定理的三角函数证法.doc(2页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
托勒密定理的三角函数证法
李明中国医科大学数学教研室110001
0定理的背景
古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出并证明了一条关于圆内接四边形的引理,现称为托勒密定理(参见文献1),其内容是:
圆内接四边形两组对边之积的和等于两条对角线之积,即(如图1).
对于托勒密定理的证明,数学学者们已经给出了多种方法,
但大多数的方法都包含着一定难度的“引辅助线”技巧,
如比较常用的“构造相似三角形”方法就是这样(参见文献2).
下文将借助三角函数这个强有力的数学工具来直接证明该定理,
从而巧妙地绕过“引辅助线”等构造性障碍.
1定理的分析
在图1中观察欲证等式两端的六条线段,它们显然都是某个圆内接三角形的边.所以,若设外接圆的直径为,并设边所对应的圆周角依次为,则由正弦定理得.
逆向思维,欲证圆内接四边形边的恒等式,
只需证三角恒等式,
即证.
2定理的证明
由图1,显然,于是
两端乘以外接圆直径的平方,并结合正弦定理得
,定理证毕.
参考文献
1[美]莫里斯·克莱因著,张理京、张锦炎、江泽涵译.古今数学思想[M].上海:
上海科学技术出版社,2002
2苑建广.托勒密定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考(下半月初中),2007,1
2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 托勒密 定理 三角函数
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)