高考数学教案和学案有答案第6章学案29Word下载.docx
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q<
0⇔{an}是________数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn===-.
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为______.
自我检测
1.(2011·
苏州模拟)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b=________.
2.(2011·
湖南长郡中学模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a-2,a+2,a+8,则an=______________.
3.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>
1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.
4.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a,数列{an}为等比数列,则实数a的值为________.
5.设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N*),则f(n)=____________.
探究点一 等比数列的基本量运算
例1 已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求数列{an}的通项an和前n项和Sn.
变式迁移1 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·
an-1=128,Sn=126,求n和q.
探究点二 等比数列的判定
例2 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*.
(1)证明:
数列{an+1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式以及Sn.
变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求证:
数列{Sn+2}是等比数列.
探究点三 等比数列性质的应用
例3 在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8,且++++=2,求a3.
变式迁移3
(1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值;
(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.
分类讨论思想与整体思想
例 (14分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80,它的前2n项和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的第2n项.
【答题模板】
解 设数列{an}的公比为q,
若q=1,则Sn=na1,S2n=2na1=2Sn.
∵S2n=6560≠2Sn=160,∴q≠1,[4分]
由题意得[6分]
将①整体代入②得80(1+qn)=6560,
∴qn=81.[8分]
将qn=81代入①得a1(1-81)=80(1-q),
∴a1=q-1,由a1>
0,得q>
1,
∴数列{an}为递增数列.[10分]
∴an=a1qn-1=·
qn=81·
=54.
∴=.[12分]
与a1=q-1联立可得a1=2,q=3,
∴a2n=2×
32n-1(n∈N*).[14分]
【突破思维障碍】
(1)分类讨论的思想:
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q=1和q≠1两种情况讨论;
②研究等比数列的单调性时也应进行讨论:
当a1>
0,q>
1或a1<
0,0<
1时为递增数列;
当a1<
1或a1>
1时为递减数列;
当q<
0时为摆动数列;
当q=1时为常数列.
(2)函数的思想:
等比数列的通项公式an=a1qn-1=·
qn(q>
0且q≠1)常和指数函数相联系.(3)整体思想:
应用等比数列前n项和时,常把qn,当成整体求解.
本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键,同时将qn和的值整体代入求解,简化了运算,体现了整体代换的思想,在解决有关数列求和的题目时应灵活运用.
1.等比数列的通项公式、前n项和公式分别为an=a1qn-1,Sn=
2.等比数列的判定方法:
(1)定义法:
即证明=q(q≠0,n∈N*)(q是与n值无关的常数).
(2)中项法:
证明一个数列满足a=an·
an+2(n∈N*且an·
an+1·
an+2≠0).
3.等比数列的性质:
(1)an=am·
qn-m(n,m∈N*);
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·
al=am·
an;
(3)设公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
4.在利用等比数列前n项和公式时,一定要对公比q=1或q≠1作出判断;
计算过程中要注意整体代入的思想方法.
5.等差数列与等比数列的关系是:
(1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列;
(2)若{an}是等比数列,且an>
0,则{lgan}构成等差数列.
(满分:
90分)
一、填空题(每小题6分,共48分)
1.(2010·
辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=.
2.(2010·
浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.
3.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和S3=21,则a3+a4+a5=________.
4.(2011·
无锡模拟)等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T25中也是常数的项是________.
5.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则=________.
6.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为________.
7.在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则a3+a6+a9+…+a99=________.
8.(2010·
福建)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________.
二、解答题(共42分)
9.(12分)(2010·
陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项;
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
10.(14分)已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a2=5.
(1)求证:
数列{an-1}是等比数列;
(2)求++…+的值.
11.(16分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>
0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对n∈N*均有++…+=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2010.
答案自主梳理
1.公比 q 2.a1·
qn-1 4.
(1)qn-m
(2)ak·
an
(4)递增 递减 常 摆动 6.qn
1.-3
解析 由等比数列的性质可得ac=(-1)×
(-9)=9,b2=9且b与奇数项的符号相同,故b=-3.
2.8·
n-1
解析 因为{an}为等比数列,所以(a+2)2=(a-2)(a+8),解得a=10,a-2=8,q==,
∴an=a1qn-1=8·
n-1.
3.-9
解析 由题意:
等比数列{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比数列的定义知:
四项是两个正数、两个负数,
故-24,36,-54,81,符合题意,则q=-,∴6q=-9.
4.1
解析 可用特殊值法,由Sn得a1=3-a,a2=6,a3=18,由等比数列的性质可知a=1.
5.(8n+1-1)
解析 由题意可知,f(n)即为一个以2为首项,公比q=23=8,项数为n+1的等比数列的和.
由公式可得f(n)=Sn+1=
==(8n+1-1).
课堂活动区
例1 解题导引
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解;
(2)本例可将所有项都用a1和q表示,转化为关于a1和q的方程组求解;
也可利用等比数列的性质来转化,两种方法目的都是消元转化.
解 方法一 由已知得:
①-②,得4aq6=64,∴aq6=16.③
代入①,得+2×
16+16q2=100.
解得q2=4或q2=.
又数列{an}为正项数列,∴q=2或.
当q=2时,可得a1=,
∴an=×
2n-1=2n-2,Sn==2n-1-;
当q=时,可得a1=32.
∴an=32×
n-1=26-n.
Sn==64-26-n.
方法二 ∵a1a5=a2a4=a,a2a6=a3a5,a3a7=a4a6=a,
由
可得
即
∴解得或
当a3=8,a5=2时,q2===.
∵q>
0,∴q=,由a3=a1q2=8,
得a1=32,∴an=32×
当a3=2,a5=8时,q2==4,且q>
0,∴q=2.
由a3=a1q2,得a1==.∴an=×
2n-1=2n-2.
Sn==2n-1-.
变式迁移1 解 由题意得
解得或
若则Sn===126,
解得q=,此时,an=2=64·
n-1,∴n=6.
若则Sn==126,∴q=2.
∴an=64=2·
2n-1.∴n=6.
综上n=6,q=2或.
例2 解题导引
(1)证明数列是等比数列的两个基本方法:
①=q(q为与n值无关的常数)(n∈N*).
②a=anan+2(an≠0,n∈N*).
(2)证明数列不是等比数列,可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明,也可用反证法.
解
(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*,
可得n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,
两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,
即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1),
当n=1时,S2=2S1+1+5,
所以a2+a1=2a1+6,
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