高考数学热点题型和提分秘籍专题04函数及其表示文文档格式.docx
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(1)已知函数的解析式:
构造使解析式有意义的不等式(组)求解。
(2)对实际问题:
由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解。
(3)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
②若已知函数f(g(x))定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。
2.求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化。
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接。
【举一反三】
若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为__________。
【答案】[-1,0]
热点题型二求函数的值域
例2、求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x-;
(3)y=+(x>1);
(4)y=。
(1)解法一:
y=1-,
∵x2+1≥1,∴0<≤1,
∴-2≤-<0,∴y∈[-1,1)。
解法二:
由y=可得x2=-,
【提分秘籍】求函数值域的基本方法
(1)观察法:
一些简单函数,通过观察法求值域。
(2)配方法:
“二次函数类”用配方法求值域。
(3)换元法:
形如y=ax+b±
(a,b,c,d均为常数,且ac≠0)的函数常用换元法求值域,形如y=ax+的函数用三角函数代换求值域。
(4)分离常数法:
形如y=(a≠0)的函数可用此法求值域。
(5)单调性法:
函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域。
(6)数形结合法:
画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。
求下列函数的值域:
(2)y=;
(3)y=x+4;
(4)y=(x>1)。
(1)y==3+≠3,
值域为{y|y≠3}。
(2)y=,
∵2(x-1)2+1≥1,∴y∈(0,5]。
(3)令=t≥0,∴y=-t2+4t+1,
∵t≥0,∴y∈(-∞,5]。
(4)令x-1=t>0,x2=t2+2t+1,
∴y=t++2≥4,当且仅当t=1时取等号。
∴y∈[4,+∞)。
热点题型三求函数的解析式
例3.
(1)已知f=x2+,求f(x)的解析式;
(2)已知f=lgx,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(4)已知f(x)满足2f(x)+f=3x,求f(x)的解析式。
由①②解得f(x)=2x-(x≠0),
即f(x)的解析式是f(x)=2x-(x≠0)。
【提分秘籍】求函数解析式的常用方法
(1)配凑法:
由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;
(2)待定系数法:
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;
已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(4)方程思想:
已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)。
【举一反三】
已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=,则f(x)=________。
【解析】∵2f(x)-f(-x)=,①
将x用-x代替得2f(-x)-f(x)=-,②
由①②消去f(-x)得f(x)=。
热点题型四分段函数及其应用
例4、
(1)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为__________。
(2)已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是________。
(1)-
(2)(-1,-1)
【提分秘籍】解决分段函数求值问题的策略
(1)在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式。
(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函数;
分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决。
(3)求f(f(f(a)))的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于( )
A.B.C.2D.9
【答案】C
【解析】f(x)=
∵0<1,∴f(0)=20+1=2。
∵f(0)=2≥1,∴f(f(0))=22+2a=4a,
∴a=2。
1.【2017山东,文9】设,若,则
A.2B.4C.6D.8
【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.
1.【2016高考浙江文数】已知函数满足:
且.()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】B
2.【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;
当-1≤x≤1时,f(-x)=—f(x);
当x>时,f(x+)=f(x—).则f(6)=()
(A)-2(B)-1
(C)0(D)2
【答案】D
【解析】当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又因为当时,,所以,故选D.
1.【2015高考湖北,文6】函数的定义域为()
A.B.
C.D.
【答案】C.
【解析】由函数的表达式可知,函数的定义域应满足条件:
,解之得,即函数的定义域为,故应选C.
3.【2015高考重庆,文3】函数的定义域是()
(A)(B)
(C)(D)
【解析】由解得或,故选D.
3.【2015高考四川,文8】某食品的保鲜时间(单位:
小时)与储藏温度(单位:
℃)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在℃的保鲜时间是小时,在℃的保鲜时间是小时,则该食品在℃的保鲜时间是()
(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)21小时
1.(2014·
安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=______.
【答案】
【解析】由题易知f+f=f+f=-f-f=-+sin=.
2.(2014·
北京卷)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
A.y=e-xB.y=x3
C.y=lnxD.y=|x|
【答案】B
【解析】由定义域为R,排除选项C,由函数单调递增,排除选项A,D.
3.(2014·
江西卷)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.
(1)求p(100);
(2)当n≤2014时,求F(n)的表达式;
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.
(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.
由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,
所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.
当n=9时,p(9)=0.
当n=90时,p(90)===.
当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.
又<
,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.
4.(2014·
山东卷)函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2)B.(0,2]
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
【答案】C
【解析】若函数f(x)有意义,则log2x-1>0,∴log2x>1,∴x>2.
1.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应f中,能构成从A到B的函数的是( )
【解析】对于B,C两图可以找到一个x与两个y对应的情形,对于A图,当x=2时,在B中找不到与之对应的元素.
2.已知a,b为实数,集合M={,1},N={a,0},若f是M到N的映射,f(x)=x,则a+b的值为( )
A.-1 B.0
C.1D.±
1
3.图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
4.函数y=的定义域为( )
A.{x|x≥1}B.{x|x≥1或x=0}
C.{x|x≥0}D.{x|x=0}
【解析】由题意得|x|(x-1)≥0,∴x-1≥0或|x|=0.
∴x≥1或x=0.
5.设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]的值域为( )
A.{0}B.{-1,0}
C.{-1,0,1}D.{-2,0}
【解析】∵f(x)=1--=-,
又2x>
0,∴-<
f(x)<
.
∴y=[f(x)]的值域为{-1,0}.
6.若二次函数g(x)满足g
(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x2-3xB.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2xD.g(x)=-3x2-2x
【解析】用待定系数法,设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵g
(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,
∴解得,
∴g(x)=3x2-2x,选B.
7.已知函数f(x)=则f[]的值为( )
A.B.
C.-D.18
【答案】A
【解析】f
(2)=4,f[]=f()=1-()2=.
8.已知f:
x→2sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B的一个映射,若B={0,1,2},则A中的元素个数最多为( )
A.6B.5
C.4D.3
【解析】∵A⊆[0,2π],由2sinx=0,得x=0,π,2π;
由2sinx=1,
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- 高考 数学 热点 题型 秘籍 专题 04 函数 及其 表示