中考冲刺代几综合问题知识讲解提高Word文档下载推荐.docx
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几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题,是各地中考试题中的热点题型.主要是以函数为主线,建立函数的图象,结合函数的性质、方程等解题.解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化.例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根;
点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等.
函数是初中数学的重点,也是难点,更是中考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想,能较全面地反映学生的综合能力,有较好的区分度,因此是各地中考的热点题型.
几何综合题考查知识点多、条件隐晦,要求学生有较强的理解能力,分析能力,解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识与创新能力.
1.几何型综合题,常以相似形与圆的知识为考查重点,并贯穿其他几何、代数、三角等知识,以证明、计算等题型出现.
2.几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算,主要有线段和弧长的计算,角的计算,三角函数值的计算,以及各种图形面积的计算等.
3.几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力.
4.解几何综合题应注意以下几点:
(1)注意数形结合,多角度、全方位观察图形,挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系;
(2)注意推理和计算相结合,力求解题过程的规范化;
(3)注意掌握常规的证题思路,常规的辅助线作法;
(4)注意灵活地运用数学的思想和方法.
【典型例题】
类型一、方程与几何综合的问题
1.(优质试题•大庆模拟)如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,BC=8cm,AC=6cm.点P从B出发沿BA向A运动,速度为每秒1cm,点E是点B以P为对称中心的对称点,点P运动的同时,点Q从A出发沿AC向C运动,速度为每秒2cm,当点Q到达顶点C时,P,Q同时停止运动,设P,Q两点运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设四边形PQCB的面积为y,求y关于t的函数关系式;
(3)四边形PQCB面积能否是△ABC面积的?
若能,求出此时t的值;
若不能,请说明理由;
(4)当t为何值时,△AEQ为等腰三角形?
(直接写出结果)
【思路点拨】
(1)先在Rt△ABC中,由勾股定理求出AB=10,再由BP=t,AQ=2t,得出AP=10﹣t,然后由PQ∥BC,根据平行线分线段成比例定理,列出比例式,求解即可;
(2)正确把四边形PQCB表示出来,即可得出y关于t的函数关系式;
(3)根据四边形PQCB面积是△ABC面积的,列出方程,解方程即可;
(4)△AEQ为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①AE=AQ;
②EA=EQ;
③QA=QE,每一种情况都可以列出关于t的方程,解方程即可.
【答案与解析】
解:
(1)Rt△ABC中,∵∠C=90°
,BC=8cm,AC=6cm,
∴AB=10cm.
∵BP=t,AQ=2t,
∴AP=AB﹣BP=10﹣t.
∵PQ∥BC,
∴=,
解得t=;
(2)∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA
∴y=×
6×
8﹣×
(10﹣t)•2t•
=24﹣t(10﹣t)
=t2﹣8t+24,
即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24;
(3)四边形PQCB面积能是△ABC面积的,理由如下:
由题意,得t2﹣8t+24=×
24,
整理,得t2﹣10t+12=0,
解得t1=5﹣,t2=5+(不合题意舍去).
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的,此时t的值为5﹣;
①如果AE=AQ,那么10﹣2t=2t,解得t=;
②如果EA=EQ,那么(10﹣2t)×
=t,解得t=;
③如果QA=QE,那么2t×
=5﹣t,解得t=.
故当t为秒秒秒时,△AEQ为等腰三角形.
【总结升华】
本题考查了勾股定理,等腰三角形的判定等,综合性较强,难度适中.解答此题时要注意分类讨论,不要漏解;
其次运用方程思想是解题的关键.
举一反三:
【变式】
(优质试题•镇江)如图1,在菱形ABCD中,AB=6,tan∠ABC=2,点E从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动,设运动时间为t(秒),将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CF.
(1)求证:
BE=DF;
(2)当t= 秒时,DF的长度有最小值,最小值等于 ;
(3)如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时,△EPQ是直角三角形?
(4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CG.在点E的运动过程中,当它的对应点F位于直线AD上方时,直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.
【答案】
(1)∵∠ECF=∠BCD,即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE,
∴∠DCF=∠BCE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DC=BC,
在△DCF和△BCE中,
∵,
∴△DCF≌△BCE(SAS),
∴DF=BE;
(2)如图1,
当点E运动至点E′时,DF=BE′,此时DF最小,
在Rt△ABE′中,AB=6,tan∠ABC=tan∠BAE′=2,
∴设AE′=x,则BE′=2x,
∴AB=x=6,
则AE′=6
∴DE′=6+6,DF=BE′=12,
故答案为:
6+6,12;
(3)∵CE=CF,
∴∠CEQ<90°
,
①当∠EQP=90°
时,如图2①,
∵∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,
∴∠CBD=∠CEF,
∵∠BPC=∠EPQ,
∴∠BCP=∠EQP=90°
∵AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2,
∴DE=6,
∴t=6秒;
②当∠EPQ=90°
时,如图2②,
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD,
∴EC与AC重合,
(4)y=t﹣12﹣,
如图3,连接GF分别交直线AD、BC于点M、N,过点F作FH⊥AD于点H,
由
(1)知∠1=∠2,
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF,
∴∠DCE=∠GCF,
在△DCE和△GCF中,
∴△DCE≌△GCF(SAS),
∴∠3=∠4,
∵∠1=∠3,∠1=∠2,
∴∠2=∠4,
∴GF∥CD,
又∵AH∥BN,
∴四边形CDMN是平行四边形,
∴MN=CD=6,
∵∠BCD=∠DCG,
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG,
∴CN=CG=CD=6,
∵tan∠ABC=tan∠CGN=2,
∴GN=12,
∴GM=6+12,
∵GF=DE=t,
∴FM=t﹣6﹣12,
∵tan∠FMH=tan∠ABC=2,
∴FH=(t﹣6﹣12),
即y=t﹣12﹣.
类型二、函数与几何综合问题
2.如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t(t>0)秒,抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0)、B(1,-5)、D(4,0).
⑴求c、b(可以用含t的代数式表示);
⑵当t>
1时,抛物线与线段AB交于点M.在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?
若变化,说明理由;
若不变,求出∠AMP的值;
⑶在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.
(1)由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P,将点O与P的坐标代入方程即可求得c,b;
(2)当x=1时,y=1-t,求得M的坐标,则可求得∠AMP的度数;
(3)根据图形,可直接求得答案.
(1)把x=0,y=0代入y=x2+bx+c,得c=0,
再把x=t,y=0代入y=x2+bx,得t2+bt=0,
∵t>0,
∴b=-t;
(2)不变.
∵抛物线的解析式为:
y=x2-tx,且M的横坐标为1,
∴当x=1时,y=1-t,
∴M(1,1-t),
∴AM=|1-t|=t-1,
∵OP=t,∴AP=t-1,
∴AM=AP,
∵∠PAM=90°
,∴∠AMP=45°
;
(3)<t<.
①左边4个好点在抛物线上方,右边4个好点在抛物线下方:
无解;
②左边3个好点在抛物线上方,右边3个好点在抛物线下方:
则有-4<y2<-3,-2<y3<-1,
即-4<4-2t<-3,-2<9-3t<-1,
∴<t<4且<t<,解得<t<;
③左边2个好点在抛物线上方,右边2个好点在抛物线下方:
④左边1个好点在抛物线上方,右边1个好点在抛物线下方:
⑤左边0个好点在抛物线上方,右边0个好点在抛物线下方:
综上所述,t的取值范围是:
<t<.
此题考查了二次函数与点的关系.此题综合性很强,难度适中,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
类型三、动态几何中的函数问题
3.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于,与轴交于A、B两点,点B的坐标为
(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:
2的两部分,求出此时点的坐标;
(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:
点P在何处时△的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时点P的坐标.
(1)抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可.
(2)先画出相关图示,连接OD后发现:
S△OBD:
S四边形ACDB=2:
3,因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求;
设直线OM与线段BD的交点为E,根据题干可知:
△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1:
2或2:
1,即△OBE的面积是四边形ACDB面积的,所以先求出四边形ABDC的面积,进而得到△OBE的面积后,可确定点E的坐标,首先求出直线OE(即直线OM)的解析式,联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标(注意点M的位置).
(3)此题必须先得到关于△CPB面积的函数
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