word完整版相似三角形六大证明技巧提高类技巧训练doc.docx
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第2讲相似三角形6大证明技巧
模块一相似三角形证明方法之反A型与反X型
回顾相似三角形的判定方法总结:
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2.三边成比例的两个三角形相似.(SSS)
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)
4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
模型一:
反A型:
如图,已知△ABC,∠ADE=∠C,若连CD、BE,进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)
试一试写出具体证明过程
A
E
D
CB
模型二:
反X型:
如图,已知角∠BAO=∠CDO,若连AD,BC,进而能证明△AOD∽△BOC.
试一试写出具体证明过程
B
A
O
DC
应用练习:
1.已知△ABC中,∠AEF=∠ACB,求证:
(1)AEABAFAC
(2)∠BEO=∠CFO,
∠EBO=∠FCO(3)∠OEF=∠OBC,∠OFE=∠OCB
A
E
F
O
BC
13
2.已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如
图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:
△APQ∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长。
模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影
模型三:
射影定理
如图已知△ABC,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,求证:
AC
2
AHAB,BC2
BHBA,,
HC2
HAHB,试一试写出具体证明过程
C
AHB
模型四:
类射影
如图,已知
2
BD
AB
AB
ACAD,求证:
,试一试写出具体证明过程
BC
AC
A
D
CB
14
应用练习:
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求
证:
2.如图,在△ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F,连EF,求证:
∠AEF=∠C
A
E
F
BDC
15
模块一相似三角形证明方法之一线三等角
模型五:
一线三等角
如图,已知∠B=∠C=∠EDF,则△BDE∽△CFD(AA),试一试写出具体证明过程
AEA
FF
EAE
B
D图1
CB
D图2
CB
C
D图3
应用练习:
1.如图,△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:
△BPE≌△CQE;
(2)
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:
△BPE∽△CEQ;
并求当BP=a,CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)
16
2.△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B
(1)如图
(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图
(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图
(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC
的面积的时,求线段EF的长.
3.如图,点在线段上,点、在同侧,,,
。
(1)求证:
。
(2)若,,点为线段上的动点,连接,作,交
直线于点。
①当点与、两点不重合时,求的值。
②当点从点运动到的中点时,求线段的中点所经过的路径(线段)
长。
(直接写出结果,不必写出解答过程)
17
模块二
比例式的证明方法之三点定型
通过前面的学习,
我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A型,X型,线束型),
也离不开上述的
6种“相似模型”.但是“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,
怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,
让
复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧
.
技巧一:
三点定型法
技巧二:
等线段代换
技巧三:
等比代换
技巧四:
等积代换
技巧五:
证等量先证等比
技巧六:
几何计算
技巧一:
三点定型
横向与纵向观察所证线段比列式(如果是等积式,则将其化为等比式)的分子分母,三个字母即可确定三角形,从而证三角形相似即可。
1.如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,
ABC的平分线BE交AC于E,交AD于
BF
AB.
F.求证:
BE
BC
A
E
F
B
D
C
2.如图,平行四边形
ABCD中,E是AB延长线上的一点,
DE交BC于F,求证:
DC
CF.
AE
AD
D
C
F
A
B
E
3.如图,△ABC中,
BAC90,M为BC的中点,DM
BC交CA的延长线于D,交AB
于E.求证:
AM2
MDME
D
A
E
BMC
18
模块二比例式的证明方法之等线段代换
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似,则考虑用等量代换替代其中线段,然后再
用三点定型法确定三角形证相似,常用的方法有:
等线段代换,等比代换,等积代换
1
如图,在△ABC,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交
AD于E,交BC的延长线于
【例】
2
F,求证:
FDFBFC
证明:
连接AF,
A
是
的平分线,
E
B
D
C
F
是AD的垂直平分线,
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),
(等边对等角),
又,
19
【例2】
如图,四边形ABCD是平行四边形,点
E在边BA的延长线上,CE交AD于F,
ECAD.求证:
ACBECEAD.
D
C
F
E
AB
【例3】如图,△ACB为等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45°,求证:
2
ABBECD
A
BDEC
4
如图,
△ABC
中,
AB
AC
,AD是中线,P是AD上一点,过
C
作
CF∥AB
,
【例】
延长BP交AC于E,交
CF于F.求证:
BP2
PEPF.
A
F
E
P
BDC
20
模块二
比例式的证明方法之等比代换
【例5】
如图,平行四边形
ABCD中,过B作直线AC、AD于O,E、交CD的延长线
于F,求证:
OB
2
OEOF.
【解题方法提示】
要证OB2=OF·OE,即证=,接下来你有思路了吗?
因为AB∥CE,由平行线分线段成比例定理,可得=;
同理因为AF∥BC,可得=,由等式的传递性,问题即可得证.
证明:
∵AB∥CE,
∴=.
∵AF∥BC,
∵=,
∴=,
∴OB2=OE·OF.
【例6】如图,在△ABC中,已知A90时,ADBC于D,E为直角边AC的中点,
过D、E作直线交AB的延长线于F.求证:
ABAFACDF.
A
E
BDC
F
21
【例7】如图,在△ABC中(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使ADAE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证:
BPCECPBD
A
DE
BCP
例8.
(1)如图1,在△ABC中,点D、E、Q分别在AB、AC、BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P,求证:
DP=PE;
BQPC
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;②如图3,求证:
MN2=DM?
EN.
22
模块二比例式的证明方法之等积代换
8
如图,
△ABC
中,BD、
CE
是高,
EH
BC
于H、交BD于
G
、交
CA
的延长
【例】
线于M.求证:
HE2
HGMH.
M
A
E
D
G
BHC
9
如图,在△ABC中,
BAC90,D为
AC
中点,AE
BD,E为垂足,求证:
【例】
CBDECD.
A
D
C
E
B
【例10】在Rt△ABC中,AD⊥BC,P为AD中点,MN⊥BC,求证MN2
A
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