人教版数学八下第17章《勾股定理》全章名师教案Word格式文档下载.docx

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　4.注意渗透数形结合的思想.数形结合是重要的数学思想方法,本章内容又恰是进行数形结合思想方法教学的较为理想的材料,因此,应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系,从而解决有关问题.

17.1勾股定理

3课时

17.2勾股定理的逆定理

1课时

单元概括整合

17.1　勾股定理

　1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.

　2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

　1.经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.

　2.发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,树立数形结合、分类讨论的意识.

　通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;

通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.

　【重点】　知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

　【难点】　勾股定理的灵活运用.

第课时

　1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.

　2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

　1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.

　2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.

　【重点】　探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

　【难点】　用拼图的方法验证勾股定理.

　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.

　【学生准备】　三角板、方格纸、三角形模型.

导入一:

　国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.

　大会的会徽图案有什么特殊含义呢?

这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.

　我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?

我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.

　[设计意图]　勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.

导入二:

　请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思?

它们之间有联系吗?

　封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.

　目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.

　你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗?

本节课,我们一起来解读图中的奥秘.

　[设计意图]　以生活课本中的图案、故事导入,增强了趣味性,拉近了数学与生活的距离,激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.

导入三:

　如图所示,一座城墙高11.7m,城墙外有一条宽为9m的护城河,那么一架长为15m的云梯能否达到城墙的顶端?

　这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理——“勾股定理”.

　[设计意图]　以学生熟悉的生活情境作为教学活动的切入点,使学生对问题产生兴趣.让学生主动去分析,发现,亲身体验,产生学习“勾股定理”的主观愿望.

　1.探索勾股定理

（1）探索等腰直角三角形三边之间的关系.

　　[过渡语]　（如教材第22页图）相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.

　师:

这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?

（出示教材图17.1-2）

（1）问题提出:

在图17.1-2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?

三个正方形之间的面积关系说明了什么?

（2）学生活动:

质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.

　学生的探索方法可能是:

通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.

　（3）教师总结:

通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:

小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

　追问:

在图17.1-2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?

如图所示.

　[设计意图]　这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.

（2）探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.

　思路一

　　[过渡语]　除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形,还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗?

　（出示教材图17.1-3）

　提出问题:

（结合带提示的下图）

　1.正方形A,B,C的面积分别是多少?

它们之间的数量关系说明了什么?

　2.正方形A'

B'

C'

的面积分别是多少?

　学生活动:

依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A'

的面积;

再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C'

的面积.

　探究提示:

正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.

　同理,正方形A'

的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C'

的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C'

的面积为34.

　活动总结:

直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.

　[设计意图]　由特殊到一般,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.

　思路二

　1.画一个两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的长.再画一个两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的长.

　你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系?

　学生计算后发现:

32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.

　学生讨论:

对于任意的直角三角形,也有这个性质吗?

　2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论.

A的面积

B的面积

C的面积

左上图

16

9

25

右下图

4

13

右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.

小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.

由以上你能得出什么结论?

若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系?

　教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:

直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:

a2+b2=c2.

　[设计意图]　通过学生画、量、算等形式,让学生在探究中发现结论,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.

　2.勾股定理的证明

　教师提问:

对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系?

　教师引导学生猜想:

如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗?

　（出示教材图17.1-5）让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利用面积证明.

　图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为（b-a）2,则有c2