量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿知识点Word文件下载.docx
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若对一个给定的能量,只存在一个线性独立的本征函数,则称该能级是非简并的;
反之,多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并,而把对应的独立本征函数的个数称为它的简并度。
(ii)、当为实函数时,一维定态波函数可取为实函数。
[证]分能级无简并和有简并两种情况来证明
(1)、能级无简并情况:
对应能级,只有一个独立的本征波函数。
设为能量值为的本征波函数,能量本征方程:
取复共轭,因,则,即也是与对应的本征波函数。
因能级无简并,有,可取,即可取为实函数。
(2)、能级有简并情况:
对应某一能级,有两个或两个以上独立的本征波函数。
设与能级所对应的本征波函数为波函数集合,能量本征方程为
取共轭,得,则集合也是与对应的本征波函数。
只要中有一个波函数(例如)不是实函数,那么就可用实函数或来取代,最后总能组合成一组实函数。
所以,当为实函数时,一维定态波函数可取为实函数。
下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。
做空间反射变换:
,用算符代表空间反射变换:
宇称本征方程:
可证为实数。
只有当为实数时,该方程才是本征方程。
因为按照基本假定,本征值与测量值相对应,而测量值总是实数。
宇称(Parity):
空间反射变换算符的本征值。
宇称的可能取值:
,即波函数满足,则称有正的(对“+”号)或负的(对“-”号)宇称。
还有一些波函数没有确定的宇称,它们不是空间反射算符的本征态。
宇称是态的重要量子力学性质,它具有“纯量子力学”的特征,在经典力学中没有对应物。
(iii)、反射定理(ReflectionTheorem)
设势能函数是关于原点对称(或空间反射不变性),即。
若是能量本征方程属于能量本征值的解,则也是该方程同一能量本征值的解。
[证]设是与一个能级对应的本征波函数,即
做空间反射变换,因,故空间反射不变,则
所以,也是属于能量值的本征波函数。
推论(Corollary):
当具有空间反射不变性时,则
(1)、对于无简并的能级,定态波函数必有确定的宇称。
(2)、若能级有简并,则总能找到一组简并的定态波函数,其中每一个波函数都有确定的宇称。
证明:
因能级无简并,则,即具有确定的宇称。
设集合是与能级对应的本征波函数
(是简并度)
空间反射得:
(),所以,集合也是与对应的定态波函数。
只要中有一个无确定宇称的波函数,例如,就可用有确定宇称的组合
来取代,而,最后总能组合成一组具有确定宇称的解。
总之,若空间反射不变,则无简并的定态波函数必有确定的宇称。
对于简并的能级,总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。
[例]对于自由粒子,由于为实函数,且具有空间反射不变性。
[解]哈密顿量的本征值是二度简并的,对应两个独立的定态波函数:
它们不是实函数,也不具有确定的宇称。
但总能组合成一组实的定态波函数
它们具有确定宇称。
除了波函数的自然条件外,有时还要用到波函数一阶导数的连接条件。
(iv)、①.在某处点,若连续或发生阶梯形跃变,则波函数的一阶导数连续;
②.在点处,若处间断且为无限大,则不连续,其连接条件可由在点的性质推导得到。
[证]定态薛定格方程为:
对上式先积分再取极限得
①.在点,当连续或阶梯形跃变时,
由于有限,当时积分,即
。
因此,即在点,连续。
②.在点,当间断且为无限大时,如势阱:
。
因此,在点,不连续,连接条件为:
(v)、若和都是能级本征值所对应的本征波函数,则有。
而对于束缚态(即),则为。
[证]由已知得
由得:
当和为束缚态时,有和,则有
(vi)、规则的势场(无奇点)中的一维束缚态必定无简并。
[证]设和属于能级的两个束缚态,则。
在和等于零的点之外区域,由上式可得
,故能级无简并。
二、一维定态的分类(Classificationof1Dstationarystates)
1、分为束缚态(Boundstates)与非束缚态(Unboundstates)(散射态scatteringstates)两类:
假设在时有确定的极限,记为。
(i)、如果,那么在时,从而使粒子在无穷远处出现的几率为零,这种状态称为束缚态(Boundstates)。
(ii)、若或或二者兼有,则在或或二者兼有时,粒子可在无穷远处出现,这种状态称为非束缚态(Unboundstates),或称散射态。
束缚态和散射态有重要的区别。
2、一维束缚态的性质(Propertiesof1Dboundstates)
(i)、不简并定理(Non-degeneracyTheorem):
一维束缚态必是非简并态。
(ii)、推论(Corollary):
一维束缚态波函数的位相必是常数。
(iii)、宇称定理(ParityTheorem):
若,则一维束缚态波函数必有确定的宇称。
(iv)、能量量子化(Quantizedenergy):
束缚态的能级是不连续地(离散地)变化的,换言之,仅当能量取某些离散的数值时,定态薛定谔方程才有符合单值、有限、连续条件的解。
这就是通常意义的“量子化(quantization)”。
(v)、如图下所示,束缚态的能量满足条件:
,其中是势能的最小值;
而代表势能在外区(包括点)的最小值。
[证]
(1)、证成立。
在外区:
若,则外区解为,显然不是束缚态。
因为不满足条件。
因此,成立。
(2)、证成立。
能量是的平均值
其中。
而,
其中,所以成立。
总之,束缚态的能量满足条件:
§
2、平底方势阱与离散能级(Square-wellpotentialsanddiscreteenergylevels)
一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶格”,以及从高维问题约化下来的一维问题。
一、一维无限深对称方势阱,分立谱
(1Dsymmetricalsquare-wellpotentialofinfinitedepthanddiscretespectrums)
考虑一个质量为的粒子在阱宽为的一维无限深势阱中运动,
其势能函数为,见右图示。
求该粒子运动的波函数及能级?
[解]在势阱外,粒子不能穿过去,必有:
在势阱内,满足的能量本征方程为:
显然(因为使得穿透阱壁),令,则能量本征方程变成:
其宇称解:
或。
接下来确定能量的取值,利用波函数的连续性条件在处衔接起来。
(1)、正宇称解(solutionforpositive/evenparity)
(2)、负宇称解(solutionfornegative/oddparity)
将二者合并起来可以写为:
能级公式(energylevelsformula):
能量本征函数(energyeigenfunction):
;
由波函数的归一化条件:
,确定归一化系数为。
因此,能量本征波函数表示为
将能级和波函数用图表示如下:
对结果进行物理分析:
1、从能量公式分析
(i)、能级是量子化的,但经典动能,连续取值。
而最低能量,这与经典粒子不同,是微观粒子波动性的表现。
因为“静止的波”是没有意义的。
通常地,称为零点能(zero-pointenergy),对应的这个状态称为基态(groundstate)。
(ii)、相邻能级间距:
当时,能级差最小。
当(即在大量子数)时,,说明能级间隔与能级本身比较是可忽略不计的,即具有“准连续”性。
2、从波函数分析
(iii)、波函数是驻波(stationarystate),阱中粒子波函数是两个反向传播的德布罗意行波叠加而成的驻波,是阱中德布罗意波在边界处多次反射相干叠加的结果,类似于两端固定的一段弦振动。
这里强调指出,这两个行波并不严格单色,因为它们仅仅存在于有限区间内。
如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样。
驻波的波长为
波函数在全空间连续,但其一阶导数在端点处不连续。
(iv)、态的宇称是偶奇相间,且基态为偶宇称;
而第态奇偶性为。
(v)、第能级的波函数的节点数为(端点除外)。
(vi)、空间分布几率:
,在量子情况,粒子的空间分布与粒子的位置有关。
(vii)、经典粒子空间分布几率:
,即经典粒子出现几率是“平均(等几率)分布”的。
小结:
一维对称无限深势阱中运动的粒子,能级和相应的本征函数分别为:
;
若对称势阱的坐标原点沿轴负方向平移,此时势阱为非对称的;
相应的能级和能量本征函数为:
;
这表明:
在坐标平移变换下,能级公式不变,但能量本征函数不再具有确定的宇称了。
[例1]求一维无限深势阱中粒子处于第一激发态时几率密度最大的位置。
[解]由已知得波函数为。
对于第一激发态时,故有
粒子处于第一激发态的几率密度为,由得极值点。
当时,取极大值。
所以。
有是几率最大位置。
[例2]设粒子在宽为()的一维无限深方势阱中运动,求粒子的动量分布。
[解]由已知得,能量本征波函数为。
用动量本征函数展开得,则
因此,最后得到:
[例3]设粒子处于宽为()的一维无限深方势阱的基态,时阱壁突然崩塌,求时粒子处于动量取值在内的几率,以及粒子波函数的表达式。
[解]由于阱壁突然崩塌,粒子变为自由粒子。
此时哈密顿量为,能量本征值以及本征函数分别为。
将按展开得
由此可得:
因此,按展开如下:
所以,在时粒子处于动量取值在内的几率为
在时,粒子波函数的表达式为
[课后作业]作业四
二、有限深对称方势阱(Symmetricalsquare-wellpotentialoffinitedepth、boundstates)
设,其中为阱宽,为势阱高度。
讨论束缚态情况下,能级和本征函数。
[解]能量本征方程为:
对于第二个方程的一般解是:
(1)、对区域(经典禁区,因为)
要求,故此区域波函数为:
(2)、对于区域(经典禁区,因为)
要求,所以此区域波函数为:
(3)、对于区域(经典允许区,),波函数为:
因此,在整个区间波函数是:
按说应该把它们在处衔接起来,但是回忆以前讲过的宇称定理,我们可以做得更简单些。
(1)、偶宇称解:
和,有
如何确定和呢?
考虑波函数的条件:
在处让和都连续,得,
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