届河南省高三联考数学理试题解析版Word下载.docx
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所以.
D.
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.
3.函数的图象在点处的切线的倾斜角为,则()
【答案】B
【解析】求出函数的导函数,导函数在的函数值即是切线的斜率,根据斜率求出倾斜角即可.
由题意得,所以切线斜率,
B.
本题考查导数的几何意义,求切线的斜率.
4.中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目,其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”,即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出,这一时刻是时针与分针重合的时刻,以高度显示“聚焦”之意,比喻时事、政治的“焦点”,则这个时刻大约是()
A.7点36分B.7点38分C.7点39分D.7点40分
【解析】设7点分时针与分针重合,在7点时,时针、分针所成的夹角为,根据时针每分钟转,分针每分钟转,可得,解方程即可.
设7点分时针与分针重合.
在7点时,时针与分针所夹的角为,
时针每分钟转,分针每分钟转,
则分针从到达需旋转,时针从到达需旋转,
于是,解得(分),
本题考查了任意角的表示以及终边相同角的表示,考查了基本运算能力,属于基础题.
5.若,,,则下列结论正确的是()
【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行判断.
考虑中间值,根据指数函数的单调性,得,即;
根据幂函数的单调性,得,即;
根据对数函数的单调性,得,所以.
本题考查指数式和对数式比较大小,属于基础题.
6.函数的部分图象大致为()
A.
B.
C.
D.
【解析】根据奇函数图象的对称性排除选项C,D;
根据当时,,排除B.从而可得答案.
因为,
所以,
所以函数为奇函数,排除选项C,D;
又当时,,所以排除B.
本题考查了奇函数图象的对称性,考查了排除法,考查了根据函数解析式选择图象,考查了诱导公式,属于基础题.
7.企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放,某企业在净化处理废气的过程中污染物含量(单位:
)与时间(单位:
)间的关系为(其中,是正的常数).如果在前消除了20%的污染物,则后废气中污染物的含量是未处理前的()
A.40%B.50%C.64%D.81%
【答案】C
【解析】根据得污染物含量得初始值为,根据得,可得。
代入可得,从而可得答案.
当时,;
当时,,即,得,
所以;
当时,,
C.
本题考查了指数型函数的应用,属于基础题.
8.在边长为2的正方形中,为的中点,交于.若,则()
A.1B.C.D.
【解析】以为原点,为轴建立直角坐标系,利用坐标关系求解.
建立以为原点,为轴的直角坐标系,
则,,.
又根据题意,得,,
则.
所以,,
故选:
本题考查用坐标法解决向量问题,属于基础题.
9.若对任意恒成立,则的最大值为()
A.2B.3C.D.
【解析】先分离参数,将恒成立问题转化为最值问题,再换元求出最值,即可得到答案.
和在均大于0,∴在上大于0,得.令,则.令,则,且,于是,且在上为减函数,所以,所以.
故选D.
本题结合与的关系,考查不等式恒成立问题,属于容易题.
10.若:
;
,则是的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】构造辅助函数,利用函数的单调性和充分、必要条件的概念,即可得到结果.
令,则为上的单调递增函数,
若,则,即,所以,所以是的必要条件;
反之,若,则,所以,即,所以是的充分条件,所以是的充要条件.
本题主要考查了函数单调性在大小比较中的应用,同时考查了充分必要条件的应用,属于中档题.
11.已知函数(,),当时,,,则下列结论正确的是()
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象的一个对称中心为
C.函数的图象的一条对称轴方程为
D.函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【解析】利用时,,得到和,求得的解析式,根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.
因为,所以,又,所以或,因为,所以的最小正周期为,所以,故A错误;
又,所以,又,所以,
所以;
令(),得(),
所以函数的对称中心为(),所以B错误;
由(),解得(),故C错误;
,向右平移单位长度得,故D正确.
本题考查正弦型三角函数的图象和性质,是一道三角函数不错的题.
12.已知定义在上的偶函数在区间上为减函数,且满足,,.若函数有两个零点,则实数的取值范围是()
【解析】通过题目已知条件,得到函数的图像,将零点问题转化为曲线与曲线的交点问题,即可出答案.
函数的定义域为.由,得,
所以函数关于对称,,;
根据曲线关于直线和对称,
以及在区间上为减函数,可画出图象的示意图,如图所示;
考查函数,可化为(),如图所示,
当时,曲线与()无公共点;
当时,曲线与曲线()只有一个交点;
当时,曲线与曲线()有两个交点.
当时,曲线曲线与曲线()无公共点,
综上,当时,曲线与曲线()有两个交点.
故选C.
本题结合函数性质,考查函数图像与函数零点问题,属于中档题.
二、填空题
13.设平面向量,,若,则的值为_____.
【答案】2
【解析】利用向量垂直的数量积坐标公式可求得答案.
由,得,解得.
故答案为:
2.
本题考查向量的数量积的坐标运算,属于基础题.
14.若,则______.
【答案】1
【解析】先求出,再根据换底公式和对数加法运算可得出结果.
由,得,,
1.
本题考查对数的运算,属于基础题.
15.已知函数()在区间上的最大值与最小值的和为8,则______.
【解析】根据函数奇偶性可求出.
令,则且,
所以原函数变为,,
设,则,
因为是上的奇函数,所以,
所以,所以.
本题考查函数奇偶性对称性的应用,属于基础题.
三、双空题
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到应用,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图,将筒车抽象为一个几何图形(圆),筒车的半径为,筒车转轮的中心到水面的距离为,筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定:
盛水筒对应的点从水中浮现(即时的位置)时开始计算时间,且以水轮的圆心为坐标原点,过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为(单位:
),且此时点距离水面的高度为(单位:
),则与的函数关系式为______,点第一次到达最高点需要的时间为______.
【答案】5
【解析】根据题意可得以为终边的角为,得出的纵坐标为,继而可得出,令,即可求出时间.
因为,所以是以为始边,为终边的角.由在()内转过的角为,可知以为始边,以为终边的角为,则点的纵坐标为,所以点距水面的高度()表示为时间()的函数是,令,得,取,.故经过后点第一次到达最高点.
5.
本题考查三角函数的定义和性质,属于中档题.
四、解答题
17.已知向量,,函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】
(1)最小正周期是;
(2)单调递减区间为().
【解析】
(1)利用数量积的定义先求出函数的解析式,即可求出最小正周期.
(2)根据的单调减区间,即可求出单调减区间.
(1)因为,
所以
故函数的最小正周期是.
(2)由,得(),
解得(),
所以函数的单调递减区间为().
本题结合向量考查求三角函数的最小正周期和单调区间,属于容易题
18.已知函数().
(1)若函数是定义在上的奇函数,求的值;
(2)当时,,求实数的取值范围.
(1);
(2).
(1)运用,即可解出的值.
(2)可采用分离常数法得对于任意的恒成立,令,则,令,所以,结合二次函数的性质即可求解.
(1)因为函数是定义在上的奇函数,所以对任意恒成立,
即对任意恒成立,
整理得对任意恒成立,所以.
(2)根据题意,不等式对于任意的恒成立,
即不等式对于任意的恒成立.
令,则,
令,所以.
而在上单调递增,
所以,所以,解得.
故的取值范围是.
本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数,以及恒成立问题求参数,属于中档题
19.将一块圆心角为120°
,半径为的扇形铁片裁成一块矩形,如图有两种裁法:
让矩形一边在扇形的一条半径上(图1),或让矩形一边与弦平行(图2).对于图1和图2均记,问哪种裁法得到的矩形的面积最大?
【答案】选择
(2)裁法能得到面积最大的矩形.
【解析】对于甲图:
,,将矩形面积表示出来,利用二倍角公式和三角函数性质即可求出最大值.对于乙图:
利用正弦定理的,利用三角函数可得,即可表示出矩形的面积,利用三角恒等变换以及三角函数可求得最大值,比较看哪个面积最大即可.
如题图1,矩形的面积为(),
当时,.
如题图2,在中,由正弦定理得.
由对称性可知,的平分线为对称轴,
所以矩形的面积为
()
综上,,选择
(2)裁法能得到面积最大的矩形.
本题主要考查了三角函数的实际应用,利用三角函数和三角恒等变换求最值,属于中档题.
20.已知的一个极值点为2.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的最值.
(1)函数的减区间为,增区间为,;
(2)最小值是,最大值是13.
(1)求出.由题意,可求.令,得函数的减区间;
令,得函数的增区间;
(2)求出在区间上的极值、、,比较大小,即得最值.
(1),,
的一个极值点为2,
,解得.
,,
令,得或;
令,得;
故函数的减区间为,增区间为,.
(2)由
(1)知,,
在上为增函数,在上为减函数,
是的极大值点,
又,,,
所以函数在上的最小值是,最大值是13.
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题.
21.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求B;
(2)若,AD为BC边上的中线,当的面积取得最大值时,求AD的长.
(1)利用正弦
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