甘肃省西北师大附中届高三第三次诊断考试数学理试题 Word版含答案Word格式.docx
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则该几何体的体积是
A.B.
C.2D.4
9.执行如图所示的程序框图,输出的S值是
A.–B.C.0D.
10.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为、,以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为
A.B.C.D.
11.在△中,为的三等分点,则
A.B.C.D.
12.设分别是椭圆的左右焦点,若在直线上存在点,使为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是
二、填空题(每小题5分,共20分.)
13.若函数又,且的最小值为的正数为。
14.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为。
15.某校早上8:
00上课,假设该校学生小张与小王在早上7:
30—7:
50之间到校,且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答)
16.已知函数有两个极值点,则
直线的斜率的取值范围。
三、解答题:
本大题共5小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.
(1)求an与bn;
(2)求++…+的取值范围.
18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.
(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;
(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率.从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
且PA⊥底面ABCD,BD⊥PC,E是PA的中点.
(Ⅰ)求证:
平面PAC⊥平面EBD;
(Ⅱ)若PA=AB=2,直线PB与平面EBD所成角的正弦值为,
求四棱锥P-ABCD的体积.
20.(本小题满分12分)
如图,已知抛物线的准线为,焦点为F,圆M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切,过原点作倾斜角为的直线t,交于点A,交圆M于点B,且=2.
(I)求圆M和抛物线C的方程;
(Ⅱ)已知点N是x轴正半轴上的一个定点,
设G,H是抛物线上异于原点O的两个不同点,
且,△GOH面积的最小值为16.问
以动线段GH为直径的圆是否过原点?
请说明理由。
21、(本题满分12分)已知函数,.
(I)设函数,求的单调区间;
(II)若存在常数使得对恒成立,且对恒成立,则称直线为函数与的“分界线”,试问:
与是否存在“分界线”?
若存在,求出“分界线”的方程,若不存在,请说明理由。
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径,
于点,平分.
(Ⅰ)证明:
是⊙的切线
(Ⅱ)如果,求.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知曲线C1的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为。
(Ⅰ)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值。
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设不等式的解集为,.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)比较与的大小,并说明理由.
数学(理科)答题卡
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.(12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
18.(12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
19.(12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
20.(12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
21.(12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
选做题(本题满分10分,请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分)
我选做的是第题,解答过程如下:
22题图
2015届高三第三次校内诊断考试数学(理科)
参考答案
A
B
C
13.14.15.16.
17.解:
(1)设{an}的公差为d,
∵b2+S2=12,q=
∴,解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3n,bn=3n-1---------------------------------------------------6分
(2)Sn==,-------------------------------------------------------------------8分
∴==(-)
∴++…+=(1-+-+…+-)=(1-)----------------------------------10分
∵n≥1,∴0<
≤,≤1-<
∴≤(1-)<
即≤++…+<
------------------------------------------------------------------12分
18.(Ⅰ)由题意估算,所调查的600人的平均年龄为
25×
0.1+35×
0.2+45×
0.3+55×
0.2+65×
0.1+75×
0.1=48(岁).………………4分
(Ⅱ)从该城市20-80年龄段市民中随机抽取1人,抽到“老年人”的概率为.
记抽到“老年人”的人数为,的可能取值有0,1,2,3.
的分布列如下表
P
数学期望E(x)=3×
.…………………………………12分
19.解:
(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
又BD⊥PC,所以BD⊥平面PAC,
因为BD⊂平面EBD,所以平面PAC⊥平面EBD.---------------------------------------4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,BD⊥AC,所以ABCD是菱形,BC=AB=2.---------------5分
设AC∩BD=O,建立如图所示的坐标系O-xyz,设OB=b,OC=c,
则P(0,-c,2),B(b,0,0),E(0,-c,1),C(0,c,0).
=(b,c,-2),=(b,0,0),=(0,-c,1).
设n=(x,y,z)是面EBD的一个法向量,
则n·
=n·
=0,
即取n=(0,1,c).-----------------------8分
依题意,BC==2.①
记直线PB与平面EBD所成的角为θ,由已知条件
sinθ===.②
解得b=,c=1.-----------------------------------------------10分
所以四棱锥P-ABCD的体积
V=×
2OB·
OC·
PA=×
2×
1×
2=.------------12分
20.解:
(Ⅰ)因为,即p=1
所以所求抛物线的方程为.………………………………………………2分
设圆的半径为r,则r=
所以圆的方程为:
…………………………………………………4分
(Ⅱ)设G(x1,y1),H(x2,y2),N(n,0)(n为大于0的常数).
设GH的方程为:
代入,得,所以
=
因为n为大于0的常数,所以m=0时,最小。
此时n=4。
……………………8分
又可证,
所以以线段GH为直径的圆过原点。
…………………………………12分
21.解析:
(I)由于函数f(x)=,g(x)=elnx,
因此,F(x)=f(x)-g(x)=-elnx,
则==,
当0<x<时,<0,所以F(x)在(0,)上是减函数;
当x>时,>0,所以F(x)在(,+)上是增函数;
因此,函数F(x)的单调减区间是(0,),单调增区间是(,+)。
…………………4分
(II)由(I)可知,当x=时,F(x)取得最小值F()=0,
则f(x)与g(x)的图象在x=处有公共点(,)。
假设f(x)与g(x)存在“分界线”,则其必过点(,)。
……………………….6分
故设其方程为:
,即,
由f(x)≥对x∈R恒成立,则对x∈R恒成立,
所以,≤0成立,
因此k=,“分界线“的方程为:
…………………………………..10分
下面证明g(x)≤对x∈(0,+∞)恒成立,
设G(x)=,则,
所以当0<x<时,,当x>时,<0,
当x=时,G(x)取得最大值0,则g(x)≤对x∈(0,+∞)恒成立,
故所求“分界线“的方程为:
。
…………………………………………..12分
另解:
设则对x∈R恒成立,所以,由导数法解得:
设则对x∈(0,+∞)恒成立,,所以,由导数法解得:
所以,即成立。
由
(1)恒成立。
只有这时
选做题(本题满分10分)
22.解:
(Ⅰ)连结OA,则OA=OD,所以∠OAD=∠ODA,
又∠OD
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