高考数学一轮复习 第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理 新人教版Word文档格式.docx
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qn-m,(n,m∈N+).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·
al=am·
an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·
bn},仍是等比数列.
(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn==.
一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和:
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
同乘q得:
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,
两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=(q≠1).
两个防范
(1)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
三种方法
等比数列的判断方法有:
(1)定义法:
若=q(q为非零常数)或=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)中项公式法:
在数列{an}中,an≠0且a=an·
an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:
若数列通项公式可写成an=c·
qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
注:
前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比q<1,那么等比数列{an}是( ).
A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.无法确定数列的增减性
解析 当a1>0,0<q<1,数列{an}为递减数列,
当q<0,数列{an}为摆动数列.
答案 D
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( ).
A.-B.-2C.2D.
解析 由题意知:
q3==,∴q=.
3.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·
a6等于( ).
A.4B.8C.16D.32
解析 由等比数列的性质得:
a2a6=a=16.
答案 C
4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=( ).
A.-11B.-8C.5D.11
解析 设等比数列的首项为a1,公比为q.因为8a2+a5=0,所以8a1q+a1q4=0.
∴q3+8=0,∴q=-2,
∴=·
===-11.
答案 A
5.(xx·
广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.
解析 设{an}的公差为d,由S9=S4及a1=1,得9×
1+d=4×
1+d,所以d=-.又ak+a4=0,所以+]=0,即k=10.
答案 10
考向一 等比数列基本量的计算
【例1】►(xx·
全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30.求an和Sn.
[审题视点]列方程组求首项a1和公差d.
解 设{an}的公比为q,由题设得
解得或
当a1=3,q=2时,an=3·
2n-1,Sn=3·
(2n-1);
当a1=2,q=3时,an=2·
3n-1,Sn=3n-1.
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
【训练1】等比数列{an}满足:
a1+a6=11,a3·
a4=,且公比q∈(0,1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.
解
(1)∵a3·
a4=a1·
a6=,
又a1+a6=11,
故a1,a6看作方程x2-11x+=0的两根,
又q∈(0,1)∴a1=,a6=,
∴q5==,∴q=,
∴an=·
n-1=·
n-6.
(2)由
(1)知Sn==21,解得n=6.
考向二 等比数列的判定或证明
【例2】►(xx·
长沙模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*.
(1)令bn=an+1-an,证明:
{bn}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
[审题视点]第
(1)问把bn=an+1-an中an+1换为整理可证;
第
(2)问可用叠加法求an.
(1)证明 b1=a2-a1=1.
当n≥2时,bn=an+1-an=-an=-(an-an-1)=-bn-1,
∴{bn}是以1为首项,-为公比的等比数列.
(2)解 由
(1)知bn=an+1-an=n-1,
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1++…+n-2=1+=1+
=-n-1.
当n=1时,-1-1=1=a1,
∴an=-n-1(n∈N*).
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;
若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
【训练2】(xx·
四川)设d为非零实数,an=[Cd+2Cd2+…+(n-1)Cdn-1+nCdn](n∈N*).
(1)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;
若不是,说明理由;
(2)设bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
解
(1)由已知可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2.
当n≥2,k≥1时,C=C,因此
an=Cdk=Cdk=dCdk=d(d+1)n-1.
由此可见,当d≠-1时,{an}是以d为首项,d+1为公比的等比数列;
当d=-1时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列.
(2)由
(1)可知,an=d(d+1)n-1,从而bn=nd2(d+1)n-1
Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1].①
当d=-1时,Sn=d2=1.
当d≠-1时,①式两边同乘d+1得
(d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n].②
①,②式相减可得
-dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+…+(d+1)n-1-n(d+1)n]
=d2.
化简即得Sn=(d+1)n(nd-1)+1.
综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1.
考向三 等比数列的性质及应用
【例3】►已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.
[审题视点]利用等比数列的性质:
依次n项的和成等比数列.
解 ∵Sn=2,其后2n项为S3n-Sn=S3n-2=12,
∴S3n=14.
由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,
即(S2n-2)2=2·
(14-S2n)解得S2n=-4,或S2n=6.
当S2n=-4时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是首项为2,公比为-3的等比数列,
则S6n=Sn+(S2n-Sn)+…+(S6n-S5n)=-364,
∴再后3n项的和为S6n-S3n=-364-14=-378.
当S2n=6时,同理可得再后3n项的和为S6n-S3n=126-14=112.
故所求的和为-378或112.
本题利用了等比数列的性质中的第4条,其和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数列.
【训练3】(xx·
北京)在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=________;
|a1|+|a2|+…+|an|=________.
解析 设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;
等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=×
2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.
答案 -2 2n-1-
规范解答11——怎样求解等差与等比数列的综合性问题
【问题研究】等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.
【解决方案】首先求解出两个数列的基本量:
首项和公差及公比,再灵活利用性质转化条件,以及利用等差、等比数列的相关知识解决.
【示例】►(本题满分12分)(xx·
湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:
数列是等比数列.
正确设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差d,从而求出数列{bn}的首项、公比;
利用等比数列的定义可解决第
(2)问.
[解答示范]
(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.
依题意,得a-d+a+a+d=15,
解得a=5.(2分)
所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.
依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得
d=2或d=-13(舍去).(4分)
故{bn}的第3项为5,公比为2,
由b3=b1·
22,即5=b1·
22,
解得b1=.
所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为
bn=·
2n-1=5·
2n-3.(6分)
(2)证明 数列{bn}的前n项和Sn==5·
2n-2-,即Sn+=5·
2n-2.(8分)
所以S1+=,==2.(10分)
因此是以为首项,公比为2的等比数列.(12分)
关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:
一是计算出现失误,特别是利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符号进行判断;
二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.
【试一试】
(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值;
(2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?
若存在,求{an},{bn}的通项公式;
若不存在,说明理由.
[尝试解答]
(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,
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