必修4三角函数知识点归纳总结Word文件下载.docx
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7、角度与弧度的转化:
8、角度与弧度对应表:
角度
弧度
9、弧长与面积计算公式
弧长:
;
面积:
,注意:
这里的均为弧度制.
二、任意角的三角函数
1、正弦:
余弦;
正切
其中为角终边上任意点坐标,.
2、三角函数值对应表:
度
无
3、三角函数在各象限中的符号
口诀:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全stc”)
第一象限:
sinα0,cosα0,tanα0,
第二象限:
第三象限:
第四象限:
4、三角函数线
设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与,
过作轴的垂线,垂足为;
过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向
延长线交于点T.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅳ)
(Ⅲ)
由四个图看出:
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有
,,
.
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
5、同角三角函数基本关系式
(,,,三式之间可以互相表示)
6、诱导公式
奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性,把看作锐角)
.
①.公式
(一):
与
②.公式
(二):
③.公式(三):
④.公式(四):
⑤.公式(五):
⑥.公式(六):
⑦.公式(七):
⑧.公式(八):
3、三角函数的图像与性质
1、将函数的图象上所有的点,向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;
再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象。
2、函数的性质:
振幅:
周期:
频率:
相位:
初相:
。
3、周期函数:
一般地,对于函数,如果存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,叫做该函数的周期.
4、⑴对称轴:
令,得
对称中心:
,得,;
⑵对称轴:
令,得;
对称中心:
⑶周期公式:
①函数及的周期(A、ω、为常数,且A≠0).
②函数的周期(A、ω、为常数,且A≠0).
5、三角函数的图像与性质表格
图像
定义域
值域
最值
当时,;
当时,.
当时,
当
时,.
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在
上是增函数;
上是减函数.
在上是增函数;
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
无对称轴
6.五点法作的简图,设,取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
7.的的图像
8.函数的变换:
(1)函数的平移变换
①将图像沿轴向左(右)平移个单位
(左加右减)
②将图像沿轴向上(下)平移个单位
(上加下减)
(2)函数的伸缩变换:
①将图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的倍(缩短,伸长)
②将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍(伸长,缩短)
(3)函数的对称变换:
1)将图像绕轴翻折180°
(整体翻折)
(对三角函数来说:
图像关于轴对称)
2将图像绕轴翻折180°
③将图像在轴右侧保留,并把右侧图像绕轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)
④保留在轴上方图像,轴下方图像绕轴翻折上去(局部翻动)
四、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定,,该法也叫合一变形).
(8)
2.二倍角公式
(1)
(3)
3.降幂公式:
(1)
(2)
4.升幂公式
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
5.半角公式(符号的选择由所在的象限确定)
(1),
(2),
6.万能公式:
(1),
(2),
7.三角变换:
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算、化简的方法技能。
(1)角的变换:
角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、删除角的恒等变形
(2)函数名称变换:
三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。
采用公式:
其中,比如:
(3)注意“凑角”运用:
,,
例如:
已知,,,则
(4)常数代换:
在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特别是常数“1”可转化为“”
(5)幂的变换:
对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如:
常用升幂化为有理式。
(6)公式变形:
三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
(7)结构变化:
在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等等。
在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
(8)消元法:
如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法
(9)思路变换:
如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。
(10)利用方程思想解三角函数。
如对于以下三个式子:
,
,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。
8.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法):
①(或型:
利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论
②型:
引进辅助角化成再利用有界性
③型:
配方后求二次函数的最值,应注意的约束
④型:
反解出,化归为解决
⑥型:
常用到换元法:
,但须注意的取值范围:
9.三角形中常用的关系:
,,,
,
10.常见数据:
,
,
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