北京高考文科数学试题及答案解析文档格式.docx
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3.执行如图所示的程序框图,输出的值为
A.
B.
C.
D.
【解析】.成立,,.
成立,,.成立,,.
不成立,输出.故选.
4.若满足,则的最大值为
【答案】
【解析】设,则,当该直线过时,最大.当时,取得最大值,故选.
5.已知函数,则
A.是偶函数,且在上是增函数
B.是奇函数,且在上是增函数
C.是偶函数,且在上是减函数
D.是奇函数,且在上是减函数
【解析】且定义域为.
为奇函数.在上单调递增,在上单调递减在上单调递增.
在上单调递增,故选.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A.
B.
C.
D.
【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下:
,故选.
7.设为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】存在负数,使得,且为非零向量.
与方向相反.
“存在负数,使得”是“”的充分条件.
若,则,则.
,与不一定反向.
不一定存在负数,使.故选
8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是
(参考数据:
)
A.B.
C.D.
【解析】,,,两边取对数
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则.
【解析】根据题意得
所以
10.若双曲线的离心率为,则实数.
且,解得
11.已知,且,则的取值范围是.
【解析】
当时,取得最小值为
当或时,取得最大值为
的取值范围为
12.已知点在圆上,点的坐标为,为原点,则的最大值为_______.
【解析】点在圆上
设点坐标,满足
,,
,
的最大值为
13.能够说明“设是任意实数.若,则”是假命题的一组整数的值依次为_______.
【解析】取分别为不满足,故此命题为假命题
(此题答案不唯一)
14.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
()男学生人数多于女学生人数;
()女学生人数多于教师人数;
()教师人数的两倍多于男学生人数.
若教师人数为,则女学生人数的最大值为_______;
该小组人数的最小值为_______.
【解析】若教师人数为人,则男生人数小于人,则男生人数最多为人,女生最多为人。
若教师人数为人,则男生人数少于人,与已知矛盾
若教师人数为人,则男生人数少于人,则男生为人,女生人。
所以小组人数最小值为人
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题13分)
已知等差数列和等比数列满足,,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求和:
.
(Ⅰ)设公差为,公比为.
则,即.
故,即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,则,.
为公比为的等比数列.
构成首项为,公比为的等比数列.
16.(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求证:
当时,.
(Ⅰ)
所以最小正周期.
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知.
当,即时,取得最小值.
得证.
17.(本小题13分)
某大学艺术专业名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生,记录他们的分数,将数据分成组:
,,…,,并整理得到如下频率分布直方图:
()从总体的名学生中随机抽取一人,估计其分数小于的概率;
()已知样本中分数小于的学生有人,试估计总体中分数在区间内的人数;
()已知样本中有一半男生的分数不小于,且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
()由频率分布直方图得:
分数大于等于的频率为分数在和的频率之和,
即,由频率估计概率
分数小于的概率为
()设样本中分数在区间内的人数为,则由频率和为得
解之得
总体中分数在区间内的人数为(人)
()设样本中男生人数为,女生人数为
样本中分数不小于的人数共有(人)
分数不小于的人中男生,女生各占人
样本中男生人数为(人)
女生人数为(人)
总体中男生和女生的比例为
18.(本小题14分)
如图,在三棱锥中,,,,
,为线段的中点,为线段上一点.
()求证:
;
平面平面;
()当平面时,求三棱锥的体积.
(),,
又平面,平面
平面
又平面
()在中,为中点
又
由()知,而,,平面
又平面且平面
平面平面
()由题知平面
平面,平面平面
又为中点为中点
在中,
且
19.(本小题14分)
已知椭圆的两个顶点分别为,,焦点在轴上,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,,过作的垂线交于点.求证:
与的面积之比为.
(Ⅰ)焦点在轴上且顶点为
椭圆的方程为:
(Ⅱ)设且,,则
直线:
由
得
得证
20.(本小题13分)
已知函数.
()求曲线在点处的切线方程;
()求函数在区间上的最大值和最小值.
()
又
在点处的切线方程为
()令,
而
在区间上单调递减
当时,有最小值
当时,有最大值
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