北师大版九年级上册数学试题第四章图形的相似.docx
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北师大版九年级上册数学试题第四章图形的相似
北师大版九年级上册数学试题:
第四章图形的相似
一.选择题
1.下列说法正确的是( )
A.四条边对应成比例的两个四边形相似
B.相似三角形的面积的比等于相似比
C.对应角相等的多边形相似
D.三边对应成比例的两个三角形相似
2.已知,则下列等式成立的是( )
A.B.
C.D.y+z=3x
3.如图,△ABC中,CE:
EB=1:
2,DE∥AD,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为( )
A.B.C.D.
4.如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC上,DE、AB的延长线相交于点F,图中相似三角形共有( )
A.4对B.3对C.2对D.1对
5.如图,已知矩形ABCD的边AD长为4cm,边AB长为3cm,从中截去一个矩形(图中阴影部分),如果所截矩形与原矩形相似,那么所截矩形的面积是( )
A.2.25cm2B.4.75cm2C.5.25cm2D.6.75cm2
6.如图,等腰直角△ABC的两直角边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上,等腰直角△MNP与等腰直角△ABC是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=3,若点M的坐标为(1,2),则△MNP与△ABC的相似比是( )
A.B.C.D.
7.如图,直角梯形MNPQ,∠MNP=90°,PM⊥NQ,若,则=( )
A.B.C.4D.
8.如图,DE∥BC,且S△ADE:
S四边形DBCE=1:
8,则AE:
AC为( )
A.1:
9B.1:
3C.1:
8D.1:
2
9.已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为( )
A.2.5B.3.25C.3.75D.4
10.如图,正方形OABC和正方形DEFG是位似图形(其中点O,A,B,C的对应点分别是点D,E,F,G),点B的坐标为(1,1),点F的坐标为(4,2),则这两个正方形的位似中心的坐标是( )
A.(﹣2,0)B.(2,0)C.(﹣4,2)D.(4,2)
11.一张等腰三角形纸片,底边长30cm,底边上的高为45cm,现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为6cm的矩形纸条,如图所示,已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )
A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张
12.如图,Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连结BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连结BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点E4、E5、…、E2013,分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013.则S2013的大小为( )
A.B.C.D.
二.填空题
13.已知=,则的值是 .
14.如图,已知△ADE∽△ABC,且AD=3,DC=4,AE=2,则BE= .
15.如图,正方形ABCD的边长为,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .
16.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,下列条件:
(1)∠B+∠DAC=90°;
(2)∠B=∠DAC;(3);(4)AB2=BD•BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有(填序号) .
17.如图,已知△ABC中,D为BC中点,E,F为AB边三等分点,AD分别交CE,CF于点M,N,则AM:
MN:
ND等于 .
18.如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE,②∠AHC=120°,③AH+CH=DH,④AD2=OD•DH中,正确的是 .
三.解答题
19.如图所示,已知△ABC中,P是边AB上的一点,连接CP.
(1)要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是 .
(2)若△ACP∽△ABC,且AC=,AB=3,求AP的长.
20.已知:
如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.
(1)求证:
△ABD∽△CBA;
(2)若DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.
21.如图,已知A、B两点的坐标分别为(40,0)和(0,30),动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴),并且分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t秒.
(1)求t=15时,△PEF的面积;
(2)直线EF、点P在运动过程中,是否存在这样的t,使得△PEF的面积等于160(平方单位)?
若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(3)当t为何值时,△EOP与△BOA相似.
22.如图,△ABC在坐标平面内三个顶点的坐标分别为A(1,2)、B(3,3)、C(3,1).
(1)根据题意,请你在图中画出△ABC;
(2)在原网格图中,以B为位似中心,画出△A′B′C′,使它与△ABC位似且相似比是3:
1,并写出顶点A′和C′的坐标.
23.已知:
CD为一幢3米高的温室,其南面窗户的底框G距地面1米,CD在地面上留下的最大影长CF为2米,现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB(设A,C,F在同一水平线上).
(1)按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE;
(2)问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光,试说明理由.
24.课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少?
请你计算.
(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
参考答案
一.选择题
1.解:
四条边对应成比例的两个四边形不一定相似,故错误;
B、相似三角形的面积的比等于相似比的平方,故错误;
C、对应角相等的多边形不一定相似,如正方形和矩形,故错误;
D、三边对应成比例的两个三角形相似,
故选:
D.
2.解:
设=t,则x=4t,y=5t,z=7t,
A、原式==﹣,所以A选项错误;
B、原式==,所以B选项错误;
C、原式==,所以C选项错误;
D、y+z=5t+7t=12t,3x=12t,所以D选项正确.
故选:
D.
3.解:
∵CE:
EB=1:
2,
∴S△ABE:
S△ABC=2:
3,
∴S△ABE=S,
∵DE∥AD,
∴△BDE∽△BAC,
∴S△BDE:
S△BAC=(BE:
BC)2=4:
9,
∴S△BDE=S,
∴S△ADE=S△ABE﹣S△BDE=S﹣S=S.
故选:
D.
4.解:
∵在▱ABCD中,点E在BC上,DE、AB的延长线相交于点F,AD∥BC.
∴△BEF∽△ADF,
又∵CD∥AB,
∴△BEF∽△CDE,
∴△ADF∽△CED,共3对.
故选:
B.
5.解:
依题意,在矩形ABDC中截取矩形ABFE,
则矩形ABDC∽矩形AEFB,
则,
设AE=xcm,得到:
,
解得:
x=2.25,
则截取的矩形面积是:
3×2.25=6.75cm2.
故选:
D.
6.解:
∵等腰直角△ABC的两直角边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上,AC=3,
∴AB=BC=3,
∴点A(0,3),C(3,0),
∵点O′是AC的中点,
∴点O′(,),
∵点M的坐标为(1,2),
∴O′M==,
∴MN=,
∴△MNP与△ABC的相似比是:
MN:
AC=:
3=1:
3.
故选:
C.
7.解:
设PM与NQ相较于点O,
∵PM⊥NQ,
∴∠QMO+∠MQO=90°,
∵直角梯形MNPQ,∠MNP=90°,
∴∠MNQ+∠MQO=90°,MQ∥PN,∠MNP=∠MNP=90°,
∴∠MPN=∠QMO,
∴∠MPN=∠MNQ,
∴△MNQ∽△NPM,
∴,
∴MQ=MN,NP=MN,
∴=.
故选:
A.
8.解:
∵S△ADE:
S四边形DBCE=1:
8,
∴S△ABC=9S△ADE,
∴S△ADE:
S△ABC=1:
9,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=()2=,
∴AE:
AC=1:
3.
故选:
B.
9.解:
斜边l所分得的三个三角形相似,
根据相似的性质可知=,
解得x=2.5,
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5=0.5.
再根据相似的性质可知=,
解得:
x=1,
所以梯形的下底就是3﹣1=2,
所以阴影梯形的高是(2+0.5)×3÷2=3.75.
故选:
C.
10.解:
如图,连接FB并延长与x轴交于点P,则点P即为位似中心,
设OP=x,
∵点B的坐标为(1,1),点F的坐标为(4,2),
∴PA=x+1,PE=x+4,
∵正方形OABC和正方形DEFG的边AB、EF都与x轴垂直,
∴AB∥EF,
∴△PAB∽△PEF,
∴=,
即=,
解得x=2,
∵点P在x轴负半轴,
∴点P(﹣2,0).
故选:
A.
11.解:
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴==,
解得:
n=6.
故选:
C.
12.解:
∵Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AC==BC=6,
∴S△ABC=AC•BC=6,
∵D1E1⊥AC,
∴D1E1∥BC,
∴△BD1E1与△CD1E1同底同高,面积相等,
∵D1是斜边AB的中点,
∴D1E1=BC,CE1=AC,
∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC;
∴在△ACB中,D2为其重心,
∴D2E1=BE1,
∴D2E2=BC,CE2=AC,S2=××AC•BC=S△ABC,
∴D3E3=BC,CE2=AC,S3=S△ABC…;
∴Sn=S△ABC;
∴S2013=×6=.
故选:
C.
二.填空题(共6小题)
13.解:
∵=,
∴a=2b,
∴==5.
故答案为:
5.
14.解:
∵AD=3,DC=4,
∴AC=AD+DC=3+4=7,
∵△ADE∽△ABC,
∴=,
即=,
解得AB=10.5,
∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5.
故答案为:
8.5.
15.解:
连接DF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AD=BC=2,
∴△BFN∽△DAN,
∴==,
∵F是BC的中点,
∴BF=BC=AD=,
∴AN=2NF,
∴AN=AF,
在Rt△ABF中,AF==5,
∴cos∠BAF===,
∵E,F分别是AB,BC的中点,AD=AB=BC,
∴AE=BF=,
∵∠DAE=∠ABF=90°,
在△ADE与△BAF中,
,
∴△ADE≌△BAF(SAS),
∴∠AED=∠AFB,
∴∠AME=180°﹣∠BAF﹣∠AED=180°﹣∠BAF﹣∠AFB=90°.
∴AM=AE•cos∠BAF=×=2,
∴MN=AN﹣AM=AF﹣AM=×5﹣2=,
∴.
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