第七章博弈论Word格式.docx
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囚徒2
抵赖
坦白
-1,-1
-9,0
0,-9
-8,-8
博弈树:
参与者、战略、概率、支付,通常来描述一个动态
的扩展式博弈
7.2策略式博弈
策略式博弈的描述
定义7.1策略式博弈
1、参与人players:
指的是一个博弈中的决策主体,其目的是通过选择行动策略以最大化自己的支付(效用)水平
“自然”是虚拟参与人(pseudo-player),他在博弈的特定
时点上以特定的概率选择随机行动。
2、行动actions参与人i的行动以ai表示,是他所能做的某
一选择。
参与人i的行动集(actionset)Ai={,是其可
以采取的全部行动的集合。
一个行动组合(actionprofile)是
一个由博弈中的n个参与人每人选择一个行动而组成的有序
集,a={ai),(i=1,.・・,n).行动的顺序
3、信息information:
是参与人有关博弈的知识,如自然的选择,其他参与人的特征和行动等知识。
共同知识(CommonKnowledge),每个参与者知道的知识,
每个参与者知道每个参与者知道知识”,
私人信息,在博弈中(开始博弈前或博弈中),参与者i的
私人信息是指他知道,但不是所有参与者的共同知识。
4、参与人的策略(strategy)s参与人在给定信息集下的行
动规则,他规定参与人在每一时点选择何种行动。
Si表示参
与人i的一个特定策略,符号S_i:
其他所有人的战略。
参与人的策略集(strategyset;
strategyspace)或策略空间
Si={s}是其可行策略的集合。
策略组合(strategyprofile)s=⑸急,・・・,$)是由博弈的n个参与人每人选择一个策略的集合
*策略不同于行动。
*策略必须是完备的。
比如:
红军对付白军的策略是:
人不犯我,我不犯人;
人若犯我,我必犯人。
这个策略使白军不敢犯我。
但是策略必须包括人若犯我的情况。
否则,就不能保证敌人不犯我。
5、支付/收益payoff:
是指在一个特定的策略组合下参与人得到的确定效用水平(收益),或指参与人得到的期望效用水平(收益)。
u=(U1,U2,・・・Ui,・・.un)为n个参与人的支付组合payoffprofile。
参与人i的支付是所有参与人的策略的函数:
Ui:
^Sj>
:
Ui=Ui(Si,・・・Sj,…Sn)
6、一个博弈(分析)的结果outcome是博弈分析者所感兴趣的所有东西,如均衡策略组合,均衡行动组合,均衡支付
组合等等,取决于博弈分析者的到底需要什么。
7、均衡是所有参与人的最优策略的组合:
S*=(S1*,・・・Si*,...,Sn*)
其中Si*表示第i个参与人在均衡条件下的最优策略:
Ui(S*,S-i)>
Ui(Si'
S-i)对任意的s'
工S*.
721占优策略
定义7.2严格占优策略
对于一切^0,S'
Si^?
,如果Ui(?
S」)•Ui(Si,S」)成立,那么,对于局中人i,策略纟是严格占优的。
如果一个参与人的某个策略是相对于其他参与人的所有策
略的严格最优策略,那么这个策略就是严格占优的。
L
R
U
3,0
0,-4
D
2,4
-1,8
定义7.3严格占劣策略
对于一切s_j亡S_j,比(?
宀)>
比(§
s」),那么,对于局中人
i,策略?
是严格占优于它的另外一个策略S」。
在这种情况
下,s」在S中是严格占劣的
M
3,0_
0,-5
C
1,-1
3,3
-2,4_
4,1
-1,8_
定义7.4重复删除严格非占劣策略
如果对于一切n-1,srSin,那么,对于局中人i而言,策略Si是S中的重复删除后留下的严格非占劣策略(或严格占
劣策略被重复删除后所留存的策略)
定义7.5弱占劣策略
对于一切s_i迂S-,Ui(?
s」)色Ui(Si,s」),并且至少有一个严格不等式成立,那么,对于局中人i,策略?
是弱占优于它的另外一个策略s。
在这种情况下,s在S中是弱占劣的。
ii
定义7.6重复删除弱非占劣策略
Si是S中的经重复删除过程所留下的弱占优策略(重复排除
弱占劣策略后留下的策略)。
7.2.2纳什均衡
定义7.7纯策略纳什均衡给定一个策略式博弈G二(Sj,ui)j=i,如果对于每一个局中人i,并且对于一切的Sj,5(?
)一Ui(Si,?
i),那么,策略组合?
S是一个纯策略纳什均衡。
给定其他参与人的(最优)策略,该参与人的纳什均衡策略
一定是最优的。
求纯策略纳什均衡的通用办法:
划线法。
有些策略式博弈可能拥有多重纳什均衡,如图7.4,也可能
没有一个纯策略纳什均衡,如下图:
守门员
射手
左
右
-1,1
1,-1
7.2.2.1混合策略
例1守门员和射手
最优策略:
各以0.5概率扑/射向左边/右边
例二:
社会福利博弈
流浪汉政府、、、
寻找工作
游荡
就济
3,2
-1,3
不救济
0,0
上面博弈不存在纯策略纳什均衡
但是可能存在一个混合策略均衡:
政府(0.5,0.5)。
给定
政府混合策略,流浪汉寻找工作的期望效用是:
0.5*2+0.5*1=1.5;
游荡的预期效用为0.5*3+0.5*0=1.5;
因而选择任何混合策略的期望效用都相同,并且都是对政府
所选择的混合策略的最优反映,特别的:
流浪汉:
(0.2,0.8)。
给定流浪汉的混合策略,政府救济的期望效用
=0.2*3+0.8*-仁-0.2;
不救济的期望效用:
0.2*-1+0.8*0=-0.2;
混合策略(0.5,0.5)=-0.2*0.5+-0.2*0.5=-0.2。
所以,政府(0.5,0.5)和流浪汉(0.2,0.8)构成纳什均衡。
定义7.8混合策略
固定一个有限策略式博弈G二(Si,uj二。
参与人i的一个混
合策略是Si={Sii,Si2,...,Sik}上的一个概率分布
Mi二{叫‘m,...,%}。
这里,sii是纯策略,mik二m{Sik}
是i选择Sik的概率。
M二Xi=1Mi表示混合策略组合集合(混合策略空间),
M为一混合策略组合,mrMi是参与人的一个混合
策略。
如果Ui为期望效用函数,并且混合策略组合mM
被采用,则i的期望效用为:
m(m)二、mi(sj*…mN何)u,s)
s三S
例两人博弈:
Si={S11,S12,…,S1K},
Si二{S21,S22,…,S2J}。
如果参与人1相信参与人2的混合
策略为m2二(m21,…,m2J),参与人2相信参与人1的混
合策略为m1二(m11,…,m1k)
m21
5
m2J
S21
S2J
nm
Sn
miK
Sk
参与人1选择纯策略S1k的期望效用为:
m21u1(S1k,S21)m22u1(S1k,S22)…m2JU1(S1k,S2J)
每个人的期望效用都是
混合概率的线性函数;
是
效用函数的凸组合9
KJ
=瓦瓦mikm2jUi(Sik,S2j)
i=1j=1
定义7.9纳什均衡
给定一个有限策略式博弈G二(Siu):
-,如果对于每个参与人i,对于一切Mi,总有Uj(m)色Ui(mj,m_i),那么,这个策略组合就是一个纳什均衡。
定理7.1简化的纳什均衡检验
如下命题a、b、c是等价的:
a、mM是一个纳什均衡;
b、对于每一个参与人i,对于每一个Si•Sj――由r?
i给定正权数,Uj(m)=Ui(Sj,m_i),并且对于每一个SieSi,——由m给定0权数,Ui(m)aUi(Si,m_j
社会福利博弈例
c、对于每一个参与人i,对于每一个S-Si,
Uj(m)-比(勺凤)
b表明:
1、混合策略均衡和进入混合策略均衡的纯策略的期
望收益是相等的,且每一个纯策略的期望收益都相等,例社
会福利博弈。
这样,每一个进入混合策略均衡的纯策略都是最优的,因而是无差异的。
2、混合策略均衡一定不比没有
进入混合策略均衡的纯策略差。
C表明:
混合策略均衡一定不比纯策略差。
证明:
思路a=b=c=a。
1、a-b
假设m?
是一个纳什均衡,因此,对于所有Mi,有
Uj(m)兰Ui(mi,m?
_i)。
特别的,任选Si壬Si,选择m为赋予Si的概率为1的策略(蜕化策略),使得事实上对于每一个Si,都有Ui(m)一Ui(Sj,m」)。
?
5・
推论:
每一个进入混合策略均衡的纯策略的期望收益都相等,因而
可以用期望收益相等法求解混合策略均衡。
例7.1
Wp(q)
Mw(1-q)
Wp(1-p)
2,1
0,0
Mw(p)
1,2
混合策略
对于2的混合策略(q,1-q),1选择纯策略wp和mw的收益
应该相等:
q*2+(1-q)*0=q*0+(1-q)*1
对于1的混合策略(1-p,p),2选择纯策略wp和mW勺收益
应该相等:
(1-p)*1+p*0=(1-p)*0+p*2
联立求解得:
p=q=1/3.
混合策略的概率的解释:
1、参与人随机的选择其纯策略,比如点球;
2、参与人对对方选择某一纯策略的信念(belief),如上
例中,参与人2认为参与人1选择wp的概率是2/3,选择mw的概率是1/3。
定理7.2纳什均衡存在性定理:
每一个有限策略式博弈都至少存在一个纳什均衡
Brouwer不定点定理:
设SRn是一个非空1的有界的闭2且凸3的集合。
设f:
s>
S4是一个连续5映射。
那么,在S中至少存在一个f的不动点,这便是至少存在一个X*•S使得X*二f(X*)。
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