最新学年度人教B版高中数学选修23教学案回归分析 可直接打印Word文档下载推荐.docx
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[例1] 某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位:
百万元)之间有如下的对应数据:
x/百万元
2
4
5
6
8
Y/百万元
30
40
60
50
70
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)试预测广告费用支出为10百万元时,销售额多大?
[思路点拨]
(1)按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图;
(2)由公式求出,,写出回归直线方程;
(3)利用回归方程分析.
[精解详析]
(1)散点图如图所示:
(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i
1
3
合计
xi
25
yi
250
xiyi
160
300
560
1380
x
16
36
64
145
所以,==5,==50,=145,
iyi=1380.
于是可得===6.5,
=-=50-6.5×
5=17.5.
所以所求的线性回归方程为=6.5x+17.5.
(3)根据上面求得的线性回归方程,当广告费用支出为10百万元时,
=6.5×
10+17.5=82.5(百万元),
即广告费用支出为10百万元时,销售额大约为82.5百万元.
[一点通]
求线性回归方程的步骤:
(1)列表表示xi,yi,xiyi;
(2)计算,,,iyi;
(3)代入公式计算,的值;
(4)写出线性回归方程.
1.已知线性回归方程为=2-2.5x,则x=25时,y的估计值为________.
解析:
当x=25时,=2-2.5×
25=-60.5,即y的估计值为-60.5.
答案:
-60.5
2.在研究硝酸钠的可溶性程度时,对不同的温度观测它在水中的溶解度,得观测结果如下表:
温度(x)
10
20
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率是0.8809,则线性回归方程为________.
因为线性回归方程=0.8809x+过样本点的中心(30,93.6),所以=67.173,=0.8809x+67.173.
=0.8809x+67.173
相关性检验
[例2] 炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间Y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据,如下表所示:
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
Y(min)
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?
[思路点拨] 判断两变量之间是否具有相关关系,要计算出相关系数r,比较r与临界值的大小.
[精解详析] 由已知数据列成下表.
7
9
10400
36000
39900
32745
22785
18090
25500
39155
47940
15125
=159.8,=172,
=265448,=312350,iyi=287640
于是r=≈0.9906.
又查表知相应于显著性水平0.05和n-2的相关系数临界值r0.05=0.632.
由r>
r0.05知,Y与x具有线性相关关系.
已知x与Y呈线性相关关系,就无需进行相关性检验,否则要进行相关性检验.如果两个变量不具备相关关系,或者相关关系不显著,即使求出回归直线方程也是毫无意义的,用其估计和预测也是不可信的.如果通过散点图能发现线性相关关系,也可以避免求相关系数的麻烦.
3.某厂的生产原料耗费x(单位:
百万元)与销售额Y(单位:
百万元)之间有如下的对应关系:
Y
x与Y之间是否具有线性相关关系?
若有,求其回归直线方程.
解:
画出(x,y)的散点图如图所示,由图可知x,Y有线性关系.
=5,=47.5,=120,=9900,iyi=1080,
=≈0.9827.
|r|=0.9827>
r0.05=0.950,从而有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系,
由公式得回归系数
===6.5,
=-=47.5-6.5×
5=15.
故Y对x的回归直线方程为=6.5x+15.
非线性回归问题
[例3] (12分)下表为收集到的一组数据:
21
23
27
29
32
35
11
24
66
115
325
试建立Y与x之间的回归方程.
[思路点拨] 画出散点图或进行相关性检验,确定两变量x,Y是否线性相关.由散点图得x,Y之间的回归模型,求回归方程.
[精解详析] 作出散点图,如图.
从散点图中可以看出x与Y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的周围,其中c1,c2为待定的参数.(5分)
对两边取对数,把指数关系变为线性关系.令Z=lnY,则变换后的样本点分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立非线性回归方程了,数据可以转化为:
Z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得线性回归方程为=0.272x-3.849,(10分)
∴=e0.272x-3.849.(12分)
非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后像本例这样,采用适当的变量变换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.
4.某地区不同身高的男性的体重平均值如下表:
身高x/cm
80
90
110
体重Y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
120
130
140
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立Y与x之间的回归方程;
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm体重为82kg的在校男生体重是否正常?
(1)根据上表中的数据画出散点图(如图所示).
由图可看出,样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围,于是令Z=lnY,得下表:
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图如图所示.
由表中数据可得Z与x之间的回归直线方程为
=0.693+0.020x,则有=e0.693+0.020x.
(2)当x=175时,预测平均体重为=e0.693+0.020×
175≈66.22,
由于66.22×
1.2=79.464<82,所以这个男生偏胖.
1.判断变量的相关性通常有两种方式:
一是散点图,二是相关系数r,前者只能粗略的说明变量间具有相关性,而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱.
2.应用回归方程时应注意:
(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;
(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性;
(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围,一般不能超过这个适用范围,否则,将没有实用价值;
(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的准确值,事实上,它是预报变量的可能取值的平均值.
3.建立回归模型的基本步骤如下:
(1)确定研究对象.
(2)画出散点图,观察它们之间的关系.
(3)由经验确定好回归方程的类型.
(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数.
1.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )
A.①② B.①③
C.②③D.③④
①③中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.
B
2.设两个变量x和Y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,Y关于x的回归直线方程的回归系数为,回归截距是,那么必有( )
A.与r的符号相同 B.与r的符号相同
C.与r的符号相反D.与r的符号相同
由公式可知与r的符号相同.
A
3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广
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