苏教版数学必修2 第2章 214 两条直线的交点Word文件下载.docx
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1.直线x+2y-1=0与直线x+y-5=0的交点坐标为________.
【导学号:
41292086】
【解析】 联立方程组解得所以交点坐标为(9,-4).
【答案】 (9,-4)
2.已知直线3x+5y+m=0与直线x-y+1=0交点在x轴上,则m=________.
【解析】 直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),则(-1,0)在直线3x+5y+m=0上,∴3×
(-1)+5×
0+m=0,∴m=3.
【答案】 3
教材整理2 直线系方程
阅读教材P94~P95,完成下列问题.
1.平行于直线Ax+By+C=0的直线:
Ax+By+m=0(m≠C).
2.垂直于直线Ax+By+C=0的直线:
Bx-Ay+m=0(m为参数).
3.过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.(注意:
该直线不包括直线l2)
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示.(√)
(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解,反之,以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上.(√)
(3)直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示经过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0交点的所有直线.(×
)
(4)直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0有交点的等价条件是A1B2-A2B1≠0.(√)
2.过点(1,1)与直线2x+y=4平行的直线方程为________.
【解析】 设所求直线方程为2x+y=m,
将点(1,1)代入方程得m=3,
∴所求直线方程为2x+y-3=0.
【答案】 2x+y-3=0
[小组合作型]
两直线位置关系的判定方法
判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标:
(1)l1:
2x+y+3=0,l2:
x-2y-1=0;
(2)l1:
x+y+2=0,l2:
2x+2y+3=0;
(3)l1:
2x-3y+5=0,l2:
4x-6y+10=0.
【精彩点拨】 根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断.
【自主解答】
(1)由方程组
得
∴直线l1与l2相交,交点坐标为(-1,-1).
(2)解方程组
①×
2-②得:
1=0矛盾,∴方程组无解.
∴两直线无公共点,l1∥l2.
(3)解方程组
2得4x-6y+10=0,
∴①和②可以化为同一方程,
即l1与l2是同一直线,l1与l2重合.
判定直线的位置关系有以下两种方法:
(1)利用方程组解的个数判断.
(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断,两直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0.
①当A1B2-A2B1≠0时,两直线相交;
②当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0(或A1C2-A2C1=0)时,两直线重合;
③当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)时,两直线平行;
④当A1A2+B1B2=0时,两直线垂直.
[再练一题]
1.下列各组直线中,其中为相交直线的序号为________.
①y=x+2和y=1;
②x-y+1=0和y=x+5;
③x+my-1=0(m≠2)和x+2y-1=0;
④2x+3y+1=0和4x+6y-1=0.
【解析】 ①显然相交;
②平行;
③直线x+my-1=0过点(1,0),直线x+2y-1=0过点(1,0),故两直线相交;
④两直线平行.
【答案】 ①③
2.两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在x轴上,那么m的值是________.
41292087】
【解析】 在2x+3y-m=0中,令y=0,得x=;
在x-my+12=0中,令y=0,得x=-12.由题意知=-12,故m=-24.
【答案】 -24
直线交点的应用
当k为何值时,直线l1:
y=kx+3k-2与直线l2:
x+4y-4=0的交点P在第一象限?
【精彩点拨】 在相交的条件下,联立方程组求交点,根据条件列关于k的不等式组求解.
【自主解答】 当k=-时,l1与l2平行,不符合题意.
当k≠-时,由
∵点P在第一象限,∴
∴<
k<
1.
已知两条直线交点的情况,确定直线方程中的参数的值或取值范围,方法是先求出交点坐标,再根据题意列出关于参数的方程或不等式,从而求出参数的值或取值范围.
3.如图2-1-11,以Rt△ABC的两条直角边AB,BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连结EC,AF,两直线交于点M.求证:
BM⊥AC.
图2-1-11
【证明】 以两条直角边所在直线为坐标轴,建立直角坐标系.设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a,b,则A(0,a),C(b,0),B(0,0),E(-a,a),F(b,-b).
直线AF的方程是=,
即(a+b)x+by-ab=0.
直线EC的方程是
=,
即ax+(a+b)y-ab=0.
解方程组
即M点的坐标为
,
故kBM=,又kAC==-,
所以kBM·
kAC=-1.
因此BM⊥AC.
[探究共研型]
过两直线交点的直线系方程的应用
探究1 过原点(0,0)且过直线x+y-2=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程怎样求?
有几种方法?
【提示】 有两种方法,方法一,先求直线x+y-2=0与直线x-y+3=0的交点,再利用两点式求出方程.
方法二,设所求直线为x+y-2+λ(x-y+3)=0,
将点(0,0)代入得3λ-2=0,∴λ=,
所求直线为x+y-2+(x-y+3)=0,
即5x+y=0.
探究2 过点M(2,0),与直线x+2y-b=0(b≠2)平行的直线怎样求?
【提示】 设所求直线为x+2y+m=0,将点(2,0)代入方程,求出m的值即可,直线为x+2y-2=0.
求经过两直线l1:
x-2y+4=0和l2:
x+y-2=0的交点P,且与直线l3:
3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
【精彩点拨】 可先求交点坐标,再利用点斜式求直线方程;
或利用过两直线交点的直线系方程求解.
【自主解答】 法一:
得P(0,2).
∵kl3=,且l⊥l3,∴kl=-.
由斜截式可知l的方程为y=-x+2,
即4x+3y-6=0.
法二:
设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.
又∵l⊥l3,
∴3×
(1+λ)+(-4)×
(λ-2)=0,
解得λ=11.∴直线l的方程为4x+3y-6=0.
两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解.本题解法一采用常规方法,先通过方程组求出两直线交点,再根据垂直直线求出斜率,由点斜式求解;
而解法二则采用了过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,直接设出过两直线交点的方程,再根据垂直条件求出待定系数即可.
4.求经过两条直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-2y+1=0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程.
【解】 法一:
由解得
由题意可知所求的直线在x轴,y轴上的截距都存在且不为零,设所求的直线的方程为+=1.
所以
即或
解得或
所以所求的直线的方程为+=1或+=1,即x-y-1=0或4x-9y+6=0.
易知直线x-2y+1=0与坐标轴围成的三角形的面积S=×
1×
≠,
所以所求的直线的方程不可能是x-2y+1=0.
故可设所求的直线的方程为(2x+y-8)+λ(x-2y+1)=0(λ为任意实数),
即(2+λ)x+(1-2λ)y+(λ-8)=0.
由题意得(2+λ)·
(1-2λ)·
(λ-8)≠0,
令x=0,得y=-;
令y=0,得x=-.
所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为·
·
所以(λ-8)2=|(1-2λ)(2+λ)|.
解得λ=3或λ=-22.
当λ=3时,所求直线的方程为x-y-1=0;
当λ=-22时,所求直线的方程为4x-9y+6=0.
故所求直线的方程是x-y-1=0或4x-9y+6=0.
1.直线2x+3y+8=0与直线x-y-1=0的交点坐标为________.
【解析】 由解得
∴交点为(-1,-2).
【答案】 (-1,-2)
2.直线l1:
2x-y=7与l2:
3x+2y-7=0的交点坐标为________.
∴交点(3,-1).
【答案】 (3,-1)
3.已知直线l:
2x+my+1=0与直线y=x+1相交,则m的取值范围是________.
41292088】
【解析】 若m=0,两直线显然相交;
若m≠0,则-≠1,即m≠-2.
故m的取值范围为(-∞,-2)∪(-2,+∞).
【答案】 (-∞,-2)∪(-2,+∞)
4.过l1:
3x-5y-10=0和l2:
x+y+1=0的交点,且平行于l3:
x+2y-5=0的直线方程为________.
【解析】 由解得交点坐标为,故所求直线过点且与x+2y-5=0平行,可设直线方程为x+2y+C=0,
所以+2×
+C=0,故C=,所以所求直线方程为x+2y+=0,即为8x+16y+21=0.
【答案】 8x+16y+21=0
5.已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点M在第四象限,求m的取值范围.
【解】 由得
∴交点M的坐标为.
∵交点M在第四象限,∴
解得-1<
m<
∴m的取值范围是.
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