届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版Word文档格式.docx
- 文档编号:14158013
- 上传时间:2022-10-19
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:174.76KB
届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版Word文档格式.docx
《届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版Word文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(3)当n是偶数时,项的二项式系数最大;
当n是奇数时,与项的二项式系数相等且最大.
(4)(a+b)n展开式的二项式系数和:
C+C+C+…+C=2n.
知识拓展
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;
字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)Can-rbr是二项展开式的第r项.( ×
)
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ×
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )
(4)(a-b)n的展开式第r+1项的系数为Can-rbr.( ×
(5)(x-1)n的展开式二项式系数和为-2n.( ×
题组二 教材改编
2.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( )
A.80B.40
C.20D.10
答案 B
解析 Tr+1=C(2x)r=C2rxr,当r=2时,x2的系数为C·
22=40.
3.若n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10B.20
C.30D.120
解析 二项式系数之和2n=64,所以n=6,Tr+1=C·
x6-r·
r=Cx6-2r,当6-2r=0,即当r=3时为常数项,T4=C=20.
4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为( )
A.9B.8C.7D.6
解析 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.
题组三 易错自纠
5.(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )
A.CB.C
C.CD.(-1)m-1C
答案 D
解析 (x-y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm=C(-y)m-1xn-m+1,
所以系数为C(-1)m-1.
6.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N+)是一个递增数列,则k的最大值是( )
A.5B.6
C.7D.8
解析 由二项式定理知,an=C(n=1,2,3,…,11).
又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,
所以a6=C,则k的最大值为6.
7.(x-y)4的展开式中,x3y3项的系数为________.
答案 6
解析 二项展开式的通项是Tr+1=C(x)4-r·
(-y)r=(-1)rC,令4-=2+=3,解得r=2,故展开式中x3y3的系数为(-1)2C=6.
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
典例
(1)(2017·
全国Ⅰ)(1+x)6的展开式中x2项的系数为( )
A.15B.20C.30D.35
答案 C
解析 因为(1+x)6的通项为Cxr,所以(1+x)6的展开式中含x2的项为1·
Cx2和·
Cx4.
因为C+C=2C=2×
=30,
所以(1+x)6的展开式中x2项的系数为30.
故选C.
(2)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2项的系数为( )
C.30D.60
解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的项为T3=C(x2+x)3·
y2.
其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·
x=Cx5.
所以x5y2项的系数为CC=30.故选C.
方法二 利用组合知识求解.
(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
典例
(1)(2018届海口调研)若(x2-a)10的展开式中x6的系数为30,则a等于( )
A.B.C.1D.2
解析 由题意得10的展开式的通项公式是Tr+1=C·
x10-r·
r=Cx10-2r,10的展开式中含x4(当r=3时),x6(当r=2时)项的系数分别为C,C,因此由题意得C-aC=120-45a=30,由此解得a=2,故选D.
(2)(2016·
山东)若5项的展开式中x5项的系数为-80,则实数a=________.
答案 -2
解析 ∵Tr+1=C(ax2)5-rr=a5-rC,
∴10-r=5,解得r=2,∴a3C=-80,解得a=-2.
思维升华求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;
求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.
跟踪训练
(1)(2017·
全国Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80B.-40C.40D.80
解析 因为x3y3=x·
(x2y3),其系数为-C·
22=-40,
x3y3=y·
(x3y2),其系数为C·
23=80.
所以x3y3的系数为80-40=40.
(2)(x+a)10的展开式中,x7项的系数为15,则a=______.(用数字填写答案)
答案
解析 设通项为Tr+1=Cx10-rar,令10-r=7,
∴r=3,∴x7项的系数为Ca3=15,
∴a3=,∴a=.
题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题
典例
(1)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
答案 3
解析 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
(2)(2018·
汕头质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为________.
答案 1或-3
解析 令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,
令x=-2,则m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,
又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,
∴(2+m)9·
m9=39,∴m(2+m)=3,
∴m=-3或m=1.
(3)若n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为________.
答案 255
解析 n展开式的第r+1项为
Tr+1=C(x2)n-r·
r
=C(-1)rx2n-3r,
当r=5时,2n-3r=1,∴n=8.
对(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
令x=1,得a0+a1+…+a8=28=256.
又当x=0时,a0=1,
∴a1+a2+…+a8=255.
思维升华
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f
(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
岳阳模拟)若二项式n的展开式中各项系数的和是512,则展开式中的常数项为( )
A.-27CB.27C
C.-9CD.9C
解析 令x=1,得2n=512,所以n=9,故9的展开式的通项为Tr+1=C(3x2)9-rr=(-1)rC·
39-rx18-3r,令18-3r=0,得r=6.
所以常数项为T7=(-1)6C·
33=27C.
(2)(2017·
绵阳模拟)(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|等于( )
A.1024B.243
C.32D.24
答案 A
解析 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=[1-(-3)]5=45=1024.
题型三 二项式定理的应用
典例
(1)设a∈Z且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a等于( )
A.0B.1C.11D.12
解析 512012+a=(52-1)2012+a=C·
522012-C·
522011+…+C·
52·
(-1)2011+C·
(-1)2012+a,
∵C·
(-1)2011能被13整除且512012+a能被13整除,
∴C·
(-1)2012+a=1+a也能被13整除,因此a的值为12.
安徽江南名校联考)设复数x=(i是虚数单位),则Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2017等于( )
A.iB.-i
C.-1+iD.-1-i
解析 x===-1+i,
Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2017
=(1+x)2017-1=i2017-1=i-1.
思维升华
(1)逆用二项式定理的关键
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求,使之具备二项式定理右边的结构,然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路
①观察除式与被除式间的关系;
②将被除式拆成二项式;
③结合二项式定理得出结论.
跟踪训练
(1)(2018·
泉州模拟)1-90C+902C-903C+…+(-1)r90rC+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1B.1
C.-87D.87
解析 1-90C+902C-903C+…+(-1)r90rC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,
∵前10项均能被88整除,∴余数是1.
(2)若(1-2x)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018,则++…+=________.
答案 -1
解析
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 第十 计数 原理 103 二项式 定理 学案理 北师大