天津科技大学李伟版高等数学习题解答微分方程Word文档格式.docx
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(6).
(1)一阶.(2二阶.(3)三阶.(4)一阶.(5)四阶.(6)二阶.
3.验证下列各函数是否为所给微分方程的解?
如果是解,指出是通解,还是特解:
(1)函数,微分方程;
(2)函数,微分方程;
(3)由确定的函数,微分方程;
(4)函数(其中是给定的实数),微分方程.
解:
(1)因为,左式右式,所以函数不是微分方程解.
(2)因为,即,所以函数是微分方程解,但是由于中只有一个任意常数,又微分方程是二阶的,所以既不是微分方程的通解,也不是特解,只是解.
(3)等式两边同时对求导,有,化简为,所以由确定的函数是的解,又中含有一个任意常数,所以是通解.
(4)因为,
当时,,又中不含任意常数,所以函数是微分方程特解;
时,,所以所以函数不是微分方程解.
4.在下列各题中,验证所给函数是微分方程的通解,并求满足初始条件的特解:
(1)函数,微分方程,初始条件;
(2)函数,微分方程,初始条件,.
(1)因为,且中含有一个任意常数,所以函数是微分方程的通解;
由,有,即,满足初始条件的特解是.
(2)因为,,得,且函数中含有两个独立的任意常数,所以是微分方程,的通解;
由初始条件,,有得,,所以微分方程满足初始条件,的特解是.
5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
(1)曲线在点处的切线斜率等与该点横之比等于该点纵坐标的平方;
(2)曲线在点处的法线与的交点为,且线段被轴平分.
(1)由已知,有,得.
(2)(方法1)用表示法线上的点,则法线方程为,根据已知,法线过点(如图),用、代入,得,即.
(方法2)如图,,而,得,
即(注:
点在其他象限,结果相同).
6.已知某种群的增长速度与当时该种群的数量成正比,如果在时刻,该种群有数量,写出时刻时,该种群数量所满足的微分方程,并给出初始条件.
时刻时种群的增长速度为,由于种群的增长速度与当时该种群的数量成正比,得(其中为比例系数),这就是要建立的微分方程;
初始条件.
习题6—1(B)
1.试写出以原点为圆心的曲线族所满足的微分方程.
微分方程的通解为(其中是任意常数),两边同时对求导,得
,即,这就是要建立的微分方程.
2.给定微分方程,
(1)求过点的积分曲线;
(2)求出与直线相切的曲线方程.
由,得通解为.
(1)由曲线过点,有,得,所求曲线为.
(2)由曲线与直线相切,有(斜率相等),得.
当时,,代入,有,得,所求曲线为;
当时,,代入,有,得,所求曲线为.
3.设处处连续的非零函数满足,且,写出所满足的微分方程,并求函数.
将代入,有,由于,得,
根据导数定义,
.
所以所满足的微分方程,初始条件为.
由,有,两边求不定积分,有,得(根据条件有),即.由,得,所以.
4.将积分方程(其中)转化为微分方程,给出初始条件,并求函数(其中是连续函数).
将同时对求导,有,即
,这就是所要的微分方程.用代入到之中,有
,得初始条件为.通解为,由,有,得,所求函数为.
(注:
积分方程求解,一般都是通过求导转化为微分方程,并且多数情况下可以确定处初始条件)
习题6—2(A)
(1)在本节所介绍的一阶微分方程的解法中,分离变量法是基本方法,解齐次方程和一阶线性方程等时,都要先化为可分离变量的方程;
(2)我们所讨论的微分方程中的导数都是以的形式出现的,如果是的形式,我们不予考虑,因此所谓齐次方程都是指的形式,而不是齐次方程;
(3)解一阶线性微分方程一般可以分为两步:
首先利用分离变量法求出相应的齐次线性方程的通解,然后将通解中的任意常数用的函数取代,代人到原非齐次线性微分方程中,求出,从而求得原方程通解.
(1)正确.对齐次方程,令(或)可以化为可分离变量方程;
对一阶线性方程,在用“常数变易法”时,先求相应齐次线性方程,它本身就是可分离变量方程.
(2)不正确.在微分方程中,变量的地位是同等的,通常是以为自变量,为因变量.但是有时为了求解简单,也可以以为自变量,为因变量.所以方程也是齐次方程.
(3)正确.这就是所谓的“常数变易法”.除此之外,一阶线性微分方程也常用通解公式求解.
2.求下列可分离变量微分方程的通解:
(4).
(1)分离变量有,通解为,即.
(2)分离变量有,通解为,即,或写作.
(3)分离变量有,通解为,即,化简为(其中.
(注:
以后再遇到类似问题,为处理过程简单,积分时对不再加绝对值,而直接写为)
(4)分离变量有,通解为,即
,化简为.
3.求下列齐次微分方程的通解:
(1)将方程改写为,令,则,于是原方程化为,即,积分得,即,所以原方程通解为.
(2)将方程改写为,令,则,于是原方程化为,即,积分得,即,所以原方程通解为.
(3)将方程改写为,令则,于是原方程化为,即,积分得,即,所以原方程通解为.
(4)将方程改写为,令则,于是原方程化为,即,积分得,即,所以原方程通解为或写作.
4.求下列一阶线性微分方程的通解:
(1)(方法1)相应齐次方程为,即,积分得,即,令,代入原方程,有,即,得,所以原方程通解为.
(方法2),方程通解为
.
以下3题也都有以上两种解法,方法1不再使用,只用最常用的方法2求解)
(2),方程通解为
(3)化为标准一阶线性方程:
,,方程
通解为
.
(4)方程化为,它是以为自变量,为因变量的一阶线性方程(通常称为是关于的线性方程),,方程通解为
,也可以写作.
5.求下微分方程满足初始通解的特解:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
(1)这是可分离变量方程,分离变量为,积分得,即方程通解为.由,有,方程特解为.
(2)这是齐次方程,令,则,于是原方程化为,即,积分得,即方程的通解为.由,有,方程特解为.
(3)这是一阶线性方程,,方程通解为
.
由,有,得,方程特解为.
(4)这是一阶线性方程,,方程通解为
由,有,得,方程特解为.
6.曲线上任一点处的切线斜率为,且曲线过点,求曲线方程.
根据已知得微分方程为,初始条件是,它是一阶线性方程,其中,方程通解为
由,得,所求曲线为.
由初始条件中,而解函数连续,所以在解中,于是中的不用加绝对值)
7.一曲线通过点,且它在两坐标轴之间的任一切线段被切点平分,求该曲线方程.
如图,根据题目条件,有,而
,所以曲线所满足的微分方程是,分离变量有,通解为.
由初始条件,得,所求曲线为即.
8.若曲线在点处的切线在轴上的截距等于该点的横坐标,且曲线过点,求该曲线方程.
,所以曲线所满足的微分方程是,即,令,则,于是,即,通解为,即(不加绝对值的理由同上题),
由初始条件,得,所求曲线为.
9.某放射性元素有如下衰变规律:
其衰变速度与它的现存量成正比,由经验材料得知,经过1600年后,只剩下原始量的一半,求该元素的含量与时间的关系.
根据题目条件,函数满足方程,初始条件.
分离变量有,通解为,即.
由,有,方程特解为.
由时,,有,得,
所以求该元素的含量与时间的关系是.
10.设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与下落速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时的速度为零,求降落伞下落速度与时间的函数关系.
铅直向下取为轴,原点位于跳伞塔.设时刻时,跳伞员位于处,此刻下落速度为,加速度为,受力为(其中为比例系数,是重力加速度,是降落伞与跳伞员质量之和).根据牛顿第二定律,有,分离变量有,积分得,通解为,由初始条件,得,所以降落伞下落速度与时间的函数关系是.
习题6—2(B)
1.某湖泊的水量为,每年排入该湖泊内含污染物的污水量为,流入该湖泊内不含污染物的污水量也为,流出该湖泊的水量为.已知1999年底湖中的含量为,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含污水的浓度不超过,问至多需要经过多少年湖泊中污染物的含量降至以内?
(假定湖水中的浓度是均匀的).
设从2000年初开始,年后湖泊中污染物的含量为,其浓度为(根据已知湖水量保存不变).设从时刻到时刻湖泊中污染物的含量改变(减少)了,则,,分离变量有,积分得,即,由初始条件,有,得,于是年后湖泊中污染物的含量为.要使湖泊中污染物的含量降至,有,即,得,所以至少要经过年湖泊中污染物的含量可以降至以内.
2.一质量为的物体作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致、大小与时间成正比(比例系数为)的力作用于它,同时还受到一个与速度成正比(比例系数为)的阻力作用,求物体运动的速度与时间的关系.
设时刻时物体的运动速度为,受力为.根据牛顿第二定律,有,这是一阶线性方程,通解为
由初始条件,有,得,所以物体运动的速度与时间的关系是.
3.若曲线()与以区间[0,]为底的曲边梯形面积与成正比,且,求此曲线方程.
如图,根据题目已知,有,两边同时对求导,得,分离变量有,积分得,由初始条件,得,于是,再由条件,得,所以所求曲线为,或写作.
4.求下列伯努利微分方程的通解:
(3).
(1),令(),
则原方程化为,即,该方程通解为
所以,原方程通解为.
(2),令(),
(3),令(),
所以,原方程通解为.
5.用适当的变量代换求下列微分方程的通解:
(1)令,则,于是,分离变量有,积分得,原方程通解为.
(2)令则,于是,即,分离变量得,或,积分得,所以原方程通解为.
(3)令,则,于是,分离变量得,积分得,即,所以原方程通解为.
(4),即,则,原方程化为,分离变量有,该方程通解为,即,所以原方程通解为.
6.若,是一阶线性非齐次微分方程的两个不同的特解,证明是相应齐次线性微分方程(其中是任意常数),并写出非齐次线性微分方程的通解.
证明:
,将代入的左式,有
左式
右式,
又由于,从而中含有一个任意常数,所以是相应齐次线性微分方程的通解.
根据一阶线性非齐次微分方程的通解等于相应齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和,得方程的通解为.
7.设微分方程有一个解,求满足的特解.
由于是微分方程的解,有,得,于是原微分方程为,这是一阶线性微
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- 天津 科技大学 李伟版 高等数学 习题 解答 微分方程