学年高中数学 15函数yAsinwx+ 的图象教案 新人教A版必修4docWord格式文档下载.docx
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1、知识与技能
借助计算机画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,观察参数Φ,ω,A对函数图象变化的影响;
引导学生认识y=Asin(ωx+φ)的图象的五个关键点,学会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图;
用准确的数学语言描述不同的变换过程.
2、过程与方法
通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会研究问题时由简单到复杂,从具体到一般的思路,一个问题中涉及几个参数时,一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.
3、情感态度与价值观
经历对函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;
培养学生从不同角度分析问题,解决问题的能力.
三、教学重点、难点:
重点:
将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解,找出函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.;
会用五点作图法正确画函数y=Asin(ωx+φ)的简图.
难点:
学生对周期变换、相位变换顺序不同,图象平移量也不同的理解.
四、教学设想:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(一)
(一)、导入新课
思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?
从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?
接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
(二)、推进新课、新知探究、提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系?
你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响?
②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响?
对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y=sinx的图象是否有类似的关系?
③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.
④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗?
为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).
⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗?
为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.
⑥可否先伸缩后平移?
怎样先伸缩后平移的?
活动:
问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:
先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.
图1
问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.
如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>
0时)或向右(当φ<
0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.
问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:
(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:
图2
如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.
(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:
把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.
当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:
函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>
1时)或伸长(当0<
ω<
1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
图3
问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:
函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>
0,ω>
0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>
1时)或缩短(当0<
A<
1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>
0)的图象变化的影响情况.
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>
0)的图象,可以看作用下面的方法得到:
先画出函数y=sinx的图象;
再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象;
然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象;
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
⑥引导学生类比得出.其顺序是:
先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:
由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.
(三)、讨论结果:
①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略②略.
③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.
④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.
⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.
(四)、规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象得y=sin(x+φ)的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
y=sinx的图象得y=Asinx的图象
得y=Asin(ωx)的图象
(五)、应用示例
例1画出函数y=2sin(x-)的简图.
本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ=,ω=,A=2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:
只需把y=sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;
再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.
图4
(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细
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