概率论习题参考解答1Word文档下载推荐.docx
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而分布函数为
3.如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1,则称ξ服从退化分布.写出它的分布函数F(x),画出F(x)的图形.
它的图形为
4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数.
解设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有
P(ξ=1)=2P(ξ=2)
(1)
P(ξ=3)=P(ξ=2)/2
(2)
由概率论性质可知
P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1(3)
(1),
(2)代入(3)得:
2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1
解得P(ξ=2)=2/7,再代回到
(1)和
(2)得
P(ξ=1)=4/7,P(ξ=3)=1/7
则概率函数为
或列表如下:
2
3
4/7
2/7
1/7
5.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数ξ的分布律.
基本事件总数为,
有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为,则
4
0.2817
0.4696
0.2167
0.031
0.001
6.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求抽取次数ξ的概率函数.
每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布,即有
7.上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数ξ的分布律.
这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4.
不难算出,
ξ的分布律如下表所示:
0.7692
0.1953
0.0328
0.0027
8.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.
事件ξ=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品,这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生,因此有
P(ξ=i)=p(1-p)i,(i=0,1,2,…)
9.已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为,确定常数c并计算P{ξ<
1|ξ≠0}.
根据概率函数的性质有
即
得
设事件A为ξ<
1,B为ξ≠0,(注:
如果熟练也可以不这样设)则
10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.
第4题:
第9题:
当x<
-1时:
F(x)=P(ξ≤x)=0
当-1≤x<
0时:
F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)=
当0≤x<
1时:
F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=
当1≤x<
2时:
F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)=
当x≥2时:
F(x)=P(ξ≤x)=1
综上所述,最后得:
11.已知ξ~,求ξ的分布函数F(x),画出F(x)的图形.
当x<
F(x)=0;
当x≥1时:
F(x)=1
综上所述,最后得
图形为
12.已知ξ~,求P{ξ≤0.5};
P(ξ=0.5);
F(x).
因ξ为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{ξ=0.5}=0,
求F(x):
0时,F(x)=0
1时,
当x≥1时,F(x)=1
13.某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率.
先求一个电子管使用150小时以上的概率P(ξ≥150)为:
则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为
14.设连续型随机变量ξ的分布函数为:
求系数A;
P(0.3<
ξ<
0.7);
概率密度φ(x).
因ξ是连续型随机变量,因此F(x)也必是连续曲线,则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上,则必有
A×
12=1,即A=1.则分布函数为
P(0.3<
0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4
概率密度φ(x)为
15.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+Barctgx,求常数A,B;
P{|ξ|<
1}以及概率密度φ(x).
由F(-∞)=0,
得A+Barctg(-∞)=
(1)
再由F(+∞)=1,
得
(2)
综和
(1),
(2)两式解得
16.服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度,求系数A及分布函数F(x).
这实际上是一个分段函数,φ(x)可重新写为
根据性质,又因φ(x)为偶函数,因此有
则有A=1/2
因此.
求分布函数F(x).
0时,有
当x≥0时,有
17.已知,计算P{ξ≤0.2|0.1<
ξ≤0.5}
设事件A={ξ≤0.2},B={0.1<
ξ≤0.5},则要计算的是条件概率P(A|B),而
而事件AB={ξ≤0.2}∩{0.1<
ξ≤0.5}={0.1<
ξ≤0.2}
因此有
最后得
18.已知,确定常数c.
首先证明普阿松广义积分,因为函数并不存在原函数,因此需要一技巧.令,则
作极坐标代换,令,则积分区间为全平面,即θ从0积到2π,r从0积到+∞,且,因此有
所以I=π.
现确定常数c,由性质,
19.已知,求常数c及P{a-1<
ξ≤a+1}.
由性质得
解得,因此有
则
20.二元离散型随机变量(ξ,η)有如下表所示的联合概率分布:
η
ξ
5
6
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
0.099
0.064
0.040
0.020
0.006
0.025
0.018
0.013
0.008
0.002
0.011
求边缘概率分布,ξ与η是否独立?
按下表计算ξ与η的边缘分布:
pi
(1)
0.627
0.260
0.095
pj
(2)
0.273
0.208
0.128
0.100
0.060
0.029
得ξ的边缘分布如下表所示:
以及η的边缘分布如下表所示:
η
0.1
0.06
当i=1及j=0时,
因
因此ξ与η相互间不独立.
21.假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排,5个灯泡在第二排.令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数.若ξ与η的联合分布如下表所示:
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
0.02
0.04
0.08
试计算在规定时间内下列事件的概率:
(1)第一排烧坏的灯泡数不超过一个;
(2)第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;
(3)第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.
假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个,B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等,C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数.
则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和
事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和
事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数),但为减少运算量,也可以考虑其逆事件的概率,然后用1减去它.而的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):
22.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).
因为有两个2一个1,因此第一次取到2号的概率为P(ξ=2)=2/3,第一次取到1号的概率为P(ξ=1)=1/3.第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号,则在此条件下第二次取到1号的概率P(η=1|ξ=2)=P(η=2|ξ=2)=1/2.而第一次取到1号后还剩下两个2号,因此这时P(η=1|ξ=1)=0,P(η=2|ξ=1)=1.
综上所述并用乘法法则可得
(ξ,η)的分布律如下表所示:
23.(ξ,η)只取下列数组中的值:
且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.列出(ξ,η)的概率分布表,写出关于η的边缘分布.
从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值,而η只取0,,1这三个值,因此总共可构成九个数对,其中只有四个数对的概率不为零.
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- 概率论 习题 参考 解答