版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲解三角形应用举例优选学案Word文档下载推荐.docx
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坡度(比):
坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度(比)).
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×
”).
(1)公式S=bcsinA=acsinB=absinC适用于任意三角形.( √ )
(2)东北方向就是北偏东45°
的方向.( √ )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( ×
)
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是.( √ )
解析
(1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立.
(2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°
或东偏北45°
的方向.
(3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.
(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故大小的范围为[0,2π),而方向角大小的范围由定义可知为.
2.若点A在点C的北偏东30°
,点B在点C的南偏东60°
,且AC=BC,则点A在点B的( B )
A.北偏东15°
B.北偏西15°
C.北偏东10°
D.北偏西10°
解析 如图所示,∠ACB=90°
.
又AC=BC,
∴∠CBA=45°
,而β=30°
,
∴α=90°
-45°
-30°
=15°
∴点A在点B的北偏西15°
3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°
,∠CAB=105°
,则A,B两点的距离为( A )
A.50m B.50m
C.25m D.m
解析 由正弦定理得AB===50(m).
4.在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°
,∠CBA=60°
,则A,C两点之间的距离为____千米.
解析 如图所示,由题意知∠C=45°
由正弦定理得=,
∴AC=×
=.
5.一船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60°
,另一灯塔在船的南偏东75°
,则这艘船每小时航行__8__海里.
解析 如图,由题意知在△ABC中,
∠ACB=75°
-60°
∠B=15°
,∴AC=AB=8.
在Rt△AOC中,OC=AC·
sin30°
=4.
∴这艘船每小时航行=8(海里).
一 距离问题
求解距离问题的一般步骤
(1)选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化为三角形问题.
(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素.
(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.
【例1】要测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°
,∠BCD=45°
,∠ADC=30°
,∠ADB=45°
,则A,B之间的距离为____km.
解析 如图,在△ACD中,∠ACD=120°
∠CAD=∠ADC=30°
∴AC=CD=km.
在△BCD中,∠BCD=45°
∠BDC=75°
,∠CBD=60°
∴BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=()2+2-2×
×
cos75°
=3+2+-=5,∴AB=km,即A,B之间的距离为km.
二 高度问题
高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.
【例2】要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°
,在D点测得塔顶A的仰角是30°
,并测得水平面上的∠BCD=120°
,CD=40m,则电视塔的高度为__40__m.
解析 设电视塔AB高为xm,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°
,得BC=x.
在Rt△ADB中,由∠ADB=30°
,得BD=x.
在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·
CD·
cos120°
,即(x)2=x2+402-2·
x·
40·
,解得x=40,
所以电视塔高为40m.
三 角度问题
解决角度问题的注意点
(1)首先应明确方位角或方向角的含义.
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.
【例3】在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°
方向,相距12海里的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°
方向前进,红方侦察艇以每小时14海里的速度沿北偏东45°
+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
解析 如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,
则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°
根据余弦定理得
(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°
解得x=2.
故AC=28,BC=20.
根据正弦定理得=,
解得sinα==.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.
1.(2018·
河南南阳八校联考)2017年国庆节期间,某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动,从山脚A处出发,沿一个坡角为45°
的斜坡直行,走了100m后,到达山顶B处,C是与B在同一铅垂线上的山底,从B处测得另一山顶M点的仰角为60°
,与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30°
,两山BC,MN的底部与A在同一水平面,则山高MN=( D )
A.200m B.250m
C.300m D.400m
解析 如图.由题可知,AB=100,∠A=45°
,∠M=30°
,∠MBN=90°
,∠MNB=60°
,所以BC=100,BN=200,MN=400.故选D.
2.如图,位于A处的信息中心获悉:
在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°
,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ=( B )
A. B.
C. D.
解析 如题图所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°
,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
=2800,故BC=20海里.
由正弦定理,得sin∠ACB=·
sin∠BAC=,由∠BAC=120°
,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.
故cosθ=cos(∠ACB+30°
)=cos∠ACBcos30°
-sin∠ACBsin30°
3.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD=( B )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
解析 依题意可得AD=20m,AC=30m,
又CD=50m,所以在△ACD中,
由余弦定理得cos∠CAD=
===,
又0°
<
∠CAD<
180°
,所以∠CAD=45°
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°
4.如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C可以观察到点A,B;
找到一个点D,从点D可以观察到点A,C;
找到一个点E,从点E可以观察到点B,C;
并测量得到:
CD=2,CE=2,∠D=45°
,∠ACD=105°
,∠ACB=48.19°
,∠BCE=75°
,∠E=60°
,则A,B两点之间的距离为____.
解析 依题意知,在△ACD中,∠A=30°
,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°
,由正弦定理得BC==3,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·
BCcos∠ACB=10,∴AB=,即A,B两点之间的距离为.
易错点 在实际问题中对角的认识不充分
错因分析:
空间想象能力较弱,不会迁移空间角的应用.
【例1】如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°
,点C的仰角∠CAB=45°
以及∠MAC=75°
;
从点C测得∠MCA=60°
.已知山高BC=100m,则山高MN=______m.
解析 在Rt△ABC中,∠CAB=45°
,BC=100m,
所以AC=100m.
在△AMC中,∠MAC=75°
,∠MCA=60°
从而∠AMC=45°
因此AM=100m.
在Rt△MNA中,
AM=100m,∠MAN=60°
由=sin60°
,得MN=100×
=150(m).
答案 150
【跟踪训练1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°
的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°
的方向上,仰角为30°
,则此山的高度CD=__100__m.
解析 依题意有AB=600,∠CAB=30°
,∠CBA=180°
-75°
=105°
,∠DBC=30°
,DC⊥CB.∴∠ACB=45°
在△ABC中,由=,得=,
所以CB=300,在Rt△BCD中,CD=CB·
tan30°
=100,则此山的高度CD=100m.
课时达标 第22讲
[解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,三种形式均可能出现,一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置,题目难度中等.
一、选择题
1.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°
方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°
,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°
,那么B,C两点间的距离是( A )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°
,∠ACB=45°
,根据正弦定理得=,解得BC=10海里.故选A.
2.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°
,30°
,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°
,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是( D )
A.100m B.400m
C.200m D.500m
解析 由题意画出示意图,设塔高AB=hm,在Rt△ABC中,由已知得BC=hm,在Rt△ABD中,由已知得BD=hm,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC·
CDcos∠BCD,得3h2=h2+5002+h·
500,解得
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- 高考 数学 一轮 复习 第三 三角函数 三角形 22 讲解 应用 举例 优选
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