考研高等数学电子教材函数极限连续.docx
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考研高等数学电子教材函数极限连续
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我们讲义共写了八章,数学一的考生全部要学,而其它考生只需要其中的一部分。
根据共同需要的内容先讲的原则,讲课内容与顺序安排如下:
第一章函数、极限、连续(全体)
第二章一元函数微分学(全体)
第三章一元函数积分学(全体)
第六章多元函数微分学(全体)
第七章§7.1二重积分(全体)
第四章§4.1一阶微分方程
§4.3微分方程的应用
(数学四考生结束)
§4.2高阶微分方程
(数学二考生结束)
第八章无穷级数
(数学三考生结束)
第五章向量代数与空间解析几何
第七章§7.2三重积分
§7.3曲线积分
§7.4曲面积分
数学一全部内容结束
第一章函数、极限、连续
§1.1函数
(甲)内容要点
一、函数的概念
1.定义
,
x为自变量,y为因变量或称为函数值
为对应关系
自变量在定义域里面取值的时候,所有的函数值的全体就称为值域。
口诀
(1):
函数概念五要素;对应关系最核心。
2.分段函数(考研中用得很多)
例1:
例2:
例3:
口诀
(2):
分段函数分段点;左右运算要先行。
3.反函数
例:
的反函数
由于不单值,所以要看作
和
,它们的图像与
一致。
如果改变符号,写成
和
,那么它们的图像要变。
4.隐函数
确定y与x的函数关系
有些隐函数能化为显函数,例:
,
和
。
另外有些隐函数则不能化为显函数。
例:
二、基本初等函数的概念、性质和图像
(内容自己复习参考书,这里仅举例说明其重要性)
例1:
考察
的图像
例2:
考察
因为
指数函数
的图像
因此
三、复合函数与初等函数
1.复合函数
(i)已知
,
,求
(ii)已知
,
,求
2.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数
原则上来说,分段函数不是初等函数
四、考研数学中常出现的非初等函数
1.用极限表示的函数
(1)
(2)
2.用变上、下限积分表示的函数
(1)
其中
连续,则
(2)
其中
,
可导,
连续,
则
口诀(3):
变限积分是函数;出现之后先求导。
五、函数的几种性质
1.有界性:
(i)定义:
设函数
在
内有定义,若存在正数
,使
都有
,则称
在
上是有界的。
(ii)例:
在(0,1)内无界,在(1/2,1)内有界
2.奇偶性:
(i)定义:
设区间
关于原点对称,若对
,都有
,则称
在
上是奇函数。
若对
,都有
,则称
在
上是偶函数。
(ii)图像对称性:
奇函数的图象关于原点对称;偶函数图象关于
轴对称。
常用公式:
口诀(4):
奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。
3.单调性:
(i)定义:
设
在
上有定义,若对任意
,
,
都有
则称
在
上是单调增加的[单调减少的];若对任意
,
,
都有
,则称
在
上是单调不减[单调不增]
(注意:
有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。
)
(ii)判别方法:
在(a,b)内,若
,则
单调增加;若
,则单调减少。
口诀(5):
单调增加与减少;先算导数正与负。
4.周期性:
(i)定义:
设
在
上有定义,如果存在常数
,使得任意
,
,都有
,则称
是周期函数,称
为
的周期。
由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小正周期称为周期。
(ii)例:
周期为
;
周期为12
是4
和6
的最小公倍数;
不是周期函数,因为2和
没有最小公倍数。
(乙)典型例题
一、定义域与值域
例1.设
的定义域为
求
的定义域
解:
要求
,则
,
当
时,
,
,则
当
时,
,
也即
或
例2.求
的值域,并求它的反函数。
解:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
所以
的值域为
反函数
二、求复合函数有关表达式
例1.设
,求
重复合
解:
,
若
,
则
根据数学归纳法可知,对正整数
,
例2.已知
,且
,求
解:
令
,
,因此
,
,
三、有关四种性质
例1.设
,则下列结论正确的是()
(A)若
为奇函数,则
为偶函数
(B)若
为偶函数,则
为奇函数
(C)若
为周期函数,则
为周期函数
(D)若
为单调函数,则
为单调函数
解:
(B)的反例
;
;(C)的反例
;
;(D)的反例
内
;
(A)的证明:
作变量替换
则
为奇函数,
于是
为偶函数
例2.求
解:
是奇函数,
是奇函数,
因此
是奇函数
于是
例3.设
,
是恒大于零的可导函数,且
,则当
时,下列结论成立的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
(A)等价
,只需
单调减少;
(B)等价
,只需
单调增加;
(C)只需
单调减少
(D)只需
单调增加
现在
,所以
单调减少,故(A)成立。
四、函数方程
例1.设
在
上可导,
,反函数为
,且
,求
。
解:
两边对
求导得
,于是
,故
,
,由
,得
,则
。
口诀(6):
正反函数连续用;最后只留原变量。
例2.设
满足
,求
解:
令
,则
,
,
,
……
,
各式相加,得
,
因此
,于是
或
(
为整数)
口诀(7):
一步不行接力棒;最终处理见分晓。
思考题
设
均为常数,求方程
的一个解。
解:
令
,则原方程相当于
,而
和
都是奇函数,故
为偶函数,于是只要
,
§1.2极限
(甲)内容要点
一、极限的概念与基本性质
1.极限的概念
(1)数列的极限
(2)函数的极限
;
;
;
;
2.极限的基本性质
定理1(极限的唯一性)设
,
,则
定理2(极限的不等式性质)设
,
若
变化一定以后,总有
,则
反之,
,则
变化一定以后,有
(注:
当
,
情形也称为极限的保号性)
定理3(极限的局部有界性)设
则当
变化一定以后,
是有界的。
定理4设
,
则
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
二、无穷小
1.无穷小定义:
若
,则称
为无穷小(注:
无穷小与
的变化过程有关,
,当
时
为无穷小,而
或其它时,
不是无穷小)
2.无穷大定义:
任给
,当
变化一定以后,总有
,则称
为无穷大,记以
。
3.无穷小与无穷大的关系:
在
的同一个变化过程中,
若
为无穷大,则
为无穷小,
若
为无穷小,且
,则
为无穷大。
4.无穷小与极限的关系:
,其中
5.两个无穷小的比较
设
,
,且
(1)
,称
是比
高阶的无穷小,记以
称
是比
低阶的无穷小
(2)
,称
与
是同阶无穷小。
(3)
,称
与
是等阶无穷小,记以
6.常见的等价无穷小,当
时
,
,
,
,
,
,
,
。
7.无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小。
口诀(8):
极限为零无穷小;乘有界仍无穷小。
三、求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则1:
单调有界数列极限一定存在
(1)若
(
为正整数)又
(
为正整数),则
存在,且
(2)若
(
为正整数)又
(
为正整数),则
存在,且
准则2:
夹逼定理
设
。
若
,
,则
3.两个重要公式
公式1:
公式2:
;
;
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)
当
时,
例:
求
用
(最后一项比
高阶无穷小)原式
,这样比用洛比达法则简单
6.洛必达法则
专门来处理七种比较困难的极限:
;
;
;
;
;
;
第一层次:
直接用洛比达法则可处理
和
两种
法则1:
(
型)设
(1)
,
(2)
变化过程中,
,
皆存在
(3)
(或
)
则
(或
)
(注:
如果
不存在且不是无穷大量情形,则不能得出
不存在且不是无穷大量情形)
法则2:
(
型)设
(1)
,
(2)
变化过程中,
,
皆存在
(3)
(或
)
则
(或
)
例:
方法一:
等价无穷小替换
方法二:
洛比达法则分子分母求导得
,然后可以用公式一。
第二层次:
间接用洛比达法则可处理
和
例1:
例2:
化为
型
第三层次:
再间接用洛比达法则可处理
;
;
型,都是
形式
口诀(9):
幂指函数最复杂;指数对数一起上。
常用技巧:
,这样
是
型,可按第二层次来处理。
例
口诀(10):
待定极限七类型;分层处理洛比达。
7.利用导数定义求极限
基本公式:
[如果存在]
8.利用定积分定义求极限
基本公式:
[如果存在]
口诀(12):
数列极限逢绝境;转化积分见光明。
口诀(11):
数列极限洛比达;必须转化连续型。
9.其它综合方法
10.求极限的反问题有关方法
例:
已知
,求a和b。
(乙)典型例题
补充题型(关于无穷小)
例1:
(无穷小量乘有界变量仍是无穷小量)
例2:
:
设当
时,
是比
高阶无穷小;而
又是比
高阶的无穷小,
则n=()
(A)1(B)2(C)3(D)4
解:
当
时,
由
可知
,故
选(B)
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限
例1.设
,
,求
解:
口诀(13):
无穷大比无穷大;最高阶项除上下。
例2.设
,
,求
解:
特例
(1)求
解:
例2中取
,
,可知原式=
(2)
例3.求
解:
分子、分母用
除之,
原式=
或分子分母用
除之,原式
(注:
主要用当
时,
)
例4.设
是正整数,求
解:
例如
时,
因此原式
特列:
(1)
(2)
二、用两个重要公式
例1.求
解:
当
,原式
当
时,原式
例2.求
解一:
解二:
例3.
三、用夹逼定理求极限
例1.求
解:
令
,
,
则
,于是
由夹逼定理可知:
,于是原极限为0
例2.求
口诀(14):
n项相加先合并;不行估计上下界。
解:
而
由夹逼定理可知
例3.求
解:
设
,则
于是,
,
,
由夹逼定理可知,
四、用定积分定义求数列的极限
例1.求
分析:
如果还想用夹逼定理中的方法来考虑
而
,
由此可见,无法再用夹逼
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