动物体重与心律模型Word格式文档下载.docx
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变量替换
心脏病
1问题重述
生物学家认为,对于休息状态的热血动物,消耗能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,现在要求建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验。
动物
体重(g)
心率(次/分)
田鼠
25
670
家鼠
200
420
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
人
70000
72
马
450000
38
2问题分析
从问题的提出可以看到,对于热血动物来说,消耗能量与全身血流量成正比,体温从体表散失,于是有:
体表散热率=心跳产热率。
由常识可知:
心脏体积∝动物体积,体重∝体积
3模型假设
1.假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量,全部热量都用来维持体温;
2.假设动物(包括人)的体积完全与长度成正比,动物(包括人)的表面积完全与长度成正比;
3.假设外界环境是保持恒定的,不会出现使体温变化很大的环境因素;
4.假定动物(包括人)体表的散热率完全恒等于心跳的产热率;
5.假定心脏体积与动物(包括人)的体积成正比,体积与重量成正比;
4符号说明
符号
说明
V
动物(包括人)的体积
S
动物(包括人)的表面积
L
动物(包括人)的长度
P
动物(包括人)的心率
G
动物(包括人)的体重
K
表面积S与体积V之间的比例系数
体表散热率与表面积S之间的比例系数
心脏体积与动物体积V的比例系数
体积V与体重G之间的比例系数
K
心率P与体重G之间的比例系数
5模型的建立与求解
5.1模型的建立
由数学知识可知:
体积V正比于长度的立方,表面积S正比于长度的平方,于是有
,
则有
由体表散热率=心跳产热率,求得:
体表散热率
由心脏体积正比于动物的体积得,令心率为
,心脏体积
所以
心跳产热率
则由(1)(2)得:
由体重和体积成正比得,令体重为
,有
整理化简得
即
式即为建模所要求的最后结果公式
5.2模型的求解
由(5)式可以用MATLAB画出其散点图,如图表1
图表1
图表2
由上图可以看出,题目中所给数据是一系列离散的点,要通过将目标函数进行一定变形才能更清晰的看出其变化趋势。
所以,对其两边同时取对数可得:
lgP=lg*G^(-
)
即lgP=lgK-
lgG
令y=lgP,x=lgG,a=lgK得:
y=a-
x
则数据x
,y
满足线性关系y=a-
利用最小二乘法直线拟合,当所测各y
值与拟合直线上的a+bx
之间的偏差的平方和最小,即
Q
=
最小
此时所的系数a最好,拟合公式即为最佳经验公式
解方程的
a=
=3.2631
K=10
=1.8328×
10
P=K*G
*G
用MATLAB做出图像如图标3,与原图像比较
图表3
6.模型的评价
6.1模型的优点:
1.利用Mtalab软件编程进行求解,所得的结果数据准确、合理。
2.只考虑动物在休息状态,没有其他活动时的产热与散热,简化问题,便与分析求解。
6.2模型的缺点:
1.在建立模型时,假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量,忽略了其他的热量散失方式。
2.没有考虑外界气温的变化。
3.在建立模型时,假设动物表面积、体积与长度成正比,求解比较粗略。
4.假设心脏体积与动物体积成正比,没有考虑特殊情况。
7模型推广
通过对动物体重与心率这个动物模型的研究,可以通过进一步优化,结合实际医疗问题,预防心脏病,降低心脏病的发病率。
例如通过有意识地控制体重,从而有助于更方便、更有效地认识人类心脏病的发生、发展规律和研究防治措施。
参考文献
[1]姜启源,《数学模型》,第三版
[2]XX
附录
>
p=[67042020512085707238];
%不同动物的心率
G=[2520020005000300005000070000450000];
%不同动物的体重
figure
(1);
plot(G,p,'
o'
)
%绘制动物的体重与心率散点图
figure
(2);
loglog(G,p,'
ro'
%在对数坐标中绘制动物的体重与心率散点图
p=[67042020512085707238];
x=log10(G);
y=log10(p);
x1=(sum(x))/8;
X1=(sum(x.^2))/8;
X2=(x1)^2;
y1=(sum(y))/8;
xy=(sum(x.*y))/8;
a=(xy*(x1)-(X1)*y1)/(X2-X1)
%用最小二乘法计算常数项a的值
a=3.2631
k=10^a
%将a转化为k的值
k=1.8328e+003
k=10^a;
g=20:
10:
450000;
P=k*g.^(-1/3);
loglog(G,p,'
go'
holdon
loglog(g,P,'
b'
%拟合图像
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- 动物 体重 心律 模型
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