全国通用高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题五解析几何第1讲直线与圆练习理Word文档下载推荐.docx
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(1)标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)一般方程:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>
0,其中圆心是,半径r=.
5.直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.
d与r的关系
直线与圆的关系
d>
r
相离
d=r
相切
d<
相交
6.两圆的位置关系
设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2.
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考向1 直线的方程及应用
例1
(1)(2019·
天津九校联考)“m=2”是“直线l1:
mx+4y-6=0与直线l2:
x+my-3=0平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若直线l1:
x+my-3=0平行,则m2=4,m=±
2,
当m=2时,直线l1:
2x+4y-6=0与直线l2:
x+2y-3=0,两直线重合,舍去,
所以“直线l1:
x+my-3=0平行”等价于“m=-2”,
所以“m=2”是“直线l1:
x+my-3=0平行”的既不充分也不必要条件.故选D.
(2)已知直线l:
ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
A.1B.-1
C.-2或-1D.-2或1
解析 ①当a=0时,y=2不符合题意.②当a≠0时,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.
(3)已知直线l:
x-y-1=0,l1:
2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )
A.x-2y+1=0B.x-2y-1=0
C.x+y-1=0D.x+2y-1=0
答案 B
解析 因为l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上一点,设它关于l的对称点为(x,y),则解得即(1,0),(-1,-1)为l2上两点,可得l2的方程为x-2y-1=0,故选B.
(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件.
(2)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
1.(2019·
湘赣十四校高三联考)若cosθ=,sinθ=-,则角θ的终边所在的直线方程为( )
A.3x-4y=0B.4x+3y=0
C.3x+4y=0D.4x-3y=0
答案 C
解析 因为cosθ=,sinθ=-,所以tanθ==-,因此角θ的终边所在的直线斜率为-.故选C.
2.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:
2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4B.-2
C.0D.2
解析 由题意知l的斜率为-1,则l1的斜率为1,即kAB==1,∴a=0.由l1∥l2,得-=1(b≠0),∴b=-2(经检验满足题意),∴a+b=-2,故选B.
3.直线xcosα+y+b=0(α,b∈R)的倾斜角的取值范围是________.
答案 ∪
解析 ∵直线的斜率k=-cosα,α∈R,∴-1≤k≤1,直线的倾斜角的取值范围为∪.
考向2 圆的方程及应用
例2
(1)(2019·
成都市高三二诊)已知a∈R且为常数,圆C:
x2+2x+y2-2ay=0,过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A,B两点,当弦AB最短时,直线l的方程为2x-y=0,则a的值为( )
A.2B.3
C.4D.5
解析 圆C:
x2+2x+y2-2ay=0化简为(x+1)2+(y-a)2=a2+1,圆心坐标为C(-1,a),半径为.
如图,由题意可得,当弦AB最短时,过圆心与点(1,2)的直线与直线2x-y=0垂直.则=-,即a=3.故选B.
(2)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A.(x+2)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x+2)2+(y+2)2=2D.(x-2)2+(y-2)2=2
解析 由题意知,曲线方程为(x-6)2+(y-6)2=18,过圆心(6,6)作直线x+y-2=0的垂线,垂线方程为y=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上,又(6,6)到直线x+y-2=0的距离d==5,故最小圆的半径为,圆心坐标为(2,2),所以标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
(3)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为( )
A.150°
B.135°
C.120°
D.不存在
答案 A
解析 由y=得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,以为半径的圆的一部分,其图形如图所示.设过点P(2,0)的直线为y=k(x-2),则圆心到此直线AB的距离d=,因为S△AOB=|OA||OB|·
sin∠AOB=sin∠AOB,所以当∠AOB=时,S△AOB取最大值,此时圆心O到直线AB的距离为1,由=1得k=-,故直线l的倾斜角为150°
.
(1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径,一般是根据已知条件写出方程即可.
(2)方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0(AB≠0)表示圆的充要条件是A=B且D2+E2-4AF>
0.
1.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(0,1),则满足|PA|2-|PB|2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 设P(x,y),则由|PA|2-|PB|2=4,得(x+1)2+y2-x2-(y-1)2=4,所以x+y-2=0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数,圆心到直线的距离为=<
2=r,所以直线与圆相交,交点个数为2.故满足条件的点P有2个,选C.
2.(2019·
宜宾市高三第二次诊断)过直线3x-4y-14=0上一点P作圆C:
(x+1)2+(y-2)2=9的切线,切点分别为A,B,则当四边形PACB面积最小时,直线AB的方程是( )
A.4x-3y+2=0B.3x-4y+2=0
C.3x-4y-2=0D.4x-3y-2=0
解析 根据题意,圆C:
(x+1)2+(y-2)2=9的圆心C为(-1,2),半径r=3;
点P为直线3x-4y-14=0上一点,PA,PB为圆C的切线,则PA⊥CA,PB⊥CB,
则有|PA|=|PB|
==,
则S四边形PACB=2S△PCA=2×
×
|CA|×
|PA|=3,
则当|PC|取得最小值时,四边形PACB面积最小,此时CP与直线3x-4y-14=0垂直,
且|CP|==5,则C到直线AB的距离d=,
又由CP⊥AB,则直线AB与直线3x-4y-14=0平行,设直线AB的方程为3x-4y-m=0,
则d==,解得m=-2或-20(舍去),则直线AB的方程为3x-4y+2=0.故选B.
3.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )
A.(x-)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=4
C.x2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-)2=4
解析 (x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),其关于y=x对称的点为(x,y),则解得x=1,y=,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4,故选D.
考向3 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3
(1)(2019·
东北三省高三第二次模拟)圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
解析 x2-4x+y2=0⇒(x-2)2+y2=22,圆心坐标为(2,0),半径为2.x2+y2+4x+3=0⇒(x+2)2+y2=12,圆心坐标为(-2,0),半径为1.圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>
3,所以两圆的位置关系是外离,故两圆的公切线共有4条.故选D.
(2)一条光线从点(1,-1)射出,经y轴反射后与圆(x-2)2+y2=1相交,则入射光线所在直线的斜率的取值范围为( )
A.B.
C.D.
解析 由题意可知,反射光线必过(-1,-1)点,设反射光线斜率为k,则反射光线为kx-y+k-1=0,由题意可知<
1,∴0<
k<
.∴入射光线所在直线的斜率取值范围为.故选C.
ax+by+1=0是圆x2+y2-6y+5=0的对称轴,且直线l与直线x+y+2=0垂直,则直线l的方程为( )
A.x+y-2=0B.x-y+2=0
C.x+y-3=0D.x-y+3=0
解析 x2+y2-6y+5=0化为标准方程x2+(y-3)2=4,其圆心为(0,3),因为直线l:
ax+by+1=0是圆x2+y2-6y+5=0的对称轴,故3b+1=0,得b=-,又直线l与直线x+y+2=0垂直,故-=1,所以a=,故直线l的方程为x-y+1=0,即x-y+3=0,选D.
(1)处理直线与圆的位置关系问题时,主要利用几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解.
(2)直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解.
(3)经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.
1.已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=4和两点A(-m,0),B(m,0)(m>
0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°
,则m的最大值为( )
A.7B.6
C.5D.4
解析 由题意知,点P在以原点O(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在圆C上,所以只要两个圆有交点即可.圆心C(3,4)到O(0,0)的距离为5,所以|m-2|≤5≤m+2,解得3≤m≤7,即m的最大值为7.故选A.
2.直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2,则k=( )
A.±
B.±
解析 圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心坐标为(2,3),半径r=2,圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离d=,∵直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2,∴由勾股定理得r2=d2+2,即4=+3,解得k=±
.故选A.
3.(2019·
朝阳区高三第一次模拟)已知圆C:
(x-2)2+y2=2,直线l:
y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P引圆的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则实数k的取值范围是( )
A.[0,2-)∪(2+,+∞)
B.[2-,2+]
C.(-∞,0)
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- 全国 通用 高考 数学 二轮 复习 专题 教程 第二 解析几何 直线 练习
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