习题答案复变函数与积分变换文档格式.docx
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1-9
1-10证明略
1-11证明略
1-12(
(1)a,b连线的垂直平分线;
((3)等轴双曲线,
((4)双曲线
1-13略
1-14,无界的单连通区域。
1-15(
(1);
(
(2);
((3)去掉原点(0,0)的直线
((5)
1-16(
(1)
(
(2)
1-17证明略
1-18证明略
第二章
2-1(
(1)在z=0点可微,
(
(2)在直线和直线上可微,在可微点处,
。
((3)-((6)略。
2-2,伸缩率,旋转角是。
把过平行于实轴的正向,映为平面上过点,且指向虚轴的正向。
2-3(
(1),(
(2)均处处不解析。
2-4证明略,。
2-5应用可微函数判别定理证明,下半平面的任一点都是的可微点。
2-6证明略
2-7(
(1)
(
(2)
2-8
2-9(
(1)至((3)均正确。
2-10(
(1);
(
(2),
。
2-11(
(1);
(
(2)。
2-12(
(1);
((3)。
2-13(
(1)(
(2)。
2-14(
(1);
(
(2)。
2-158。
2-16不都为0,例如。
2-17(
(1)0;
(2)0;
(3)0;
(4)0。
2-18(
(1)0;
(4)。
2-19考察函数。
2-20由推广的柯西积分定理知,存在适当小的正数,使对任一,有
2-21(
(1)0;
((3);
((4);
((5)0;
((6)((7)
2-22证明略
2-23利用柯西公式。
2-24(
(1)0;
((4);
((5)0();
((6)。
2-25由设可推出,在L上及其内恒不为0。
2-26证明略
2-27由最大模原理推出。
2-28应用柯西不等式。
2-29证明略
2-30(
(1);
2-31(
(1);
(
(2)
((3)(4)
2-32因为的收敛半径是,故级数的收敛半径。
2-33(
(1);
(
(2),
((3),
2-34(
(1);
;
;
((3)
((4)
第三章
3-1(
(1)不解析点是。
它们的解析领域分别是。
在内,
,
在内
在内
;
(
(2)在内
((3)在内
((4)在内,
3-2(
(1)在内,
在
(
(2)在内
((3)在内
(4)在内
(5)在内
(6)在内
3-3
(1)三级极点;
(2),一级极点;
(3)z=2可去奇点;
(4)z=0,本性奇点;
(5)z=0,本性奇点;
3-4
(1),二级极点;
(2),一级极点;
(3)z=0,可去奇点;
(4)z=0,可去奇点;
(5)z=0,本性奇点;
(6)z=0,本性奇点;
3-5
(1)点不是孤立奇点;
(2)点不是孤立奇点;
(3)点不是孤立奇点;
(4)点是一级级点;
(5)点是一级级点;
(5)点是可去奇点;
(7)点是本性奇点。
3-6
(1)在内,
点是一级极点;
(2)在内
(3)在内
点是可去奇点;
(4)在内
点是本性奇点。
3-7
(1);
(2);
(3),
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14);
(15);
(16);
(17)。
3-8
(1)时,,
时,,;
(2)时,,
时,。
3-9
(1)0;
(3);
3-10
(1);
(3);
3-11证明略
3-12
(1);
(4);
(5);
(6)。
第四章(答案略)
第五章
5-1在映射下,原区域被映成:
以原点为中心,R为半径的圆域除去线段后的那一部分区域。
5-2在映射下,原带域被映成带域。
5-3。
5-4。
5-5所求映射是映射和映射的迭合,即。
5-6所求映射,或者是,或者是。
5-7若所求的映射是,根据实轴变实轴的要求知,a,b,c,d必为实数。
依据可知。
于是,当a,b,c,d为实数,且时,上述的映射就是所求映射的一般形式。
5-8所用映射的一般公式是
由知,。
由知,
所求映射。
5-9把G映成域。
因为映射是G内的单叶解析映射,所以是G内的保形映射。
5-10不能。
第一,映射在平面上割破负实轴后才有意义;
第二,根式映射有把角域缩小的作用,但是不是角域。
5-11
(1)映成角域:
当时,映像是平面割破实半轴的区域;
(2)映成区域:
当时,映像是单位圆外去掉实正轴上的点后的那一部分区域。
5-12
(1)注意到。
并用映射把原象映成角域,选使得映成。
于是映射就把原象映成以原点为顶点,正实轴为一边,夹角为的角域。
在用映射就把原象映为了;
(2)。
映射
把原象映为以原点为顶点,正实轴为一角边,夹角为的角域,点映为点。
再用映射就把所论区域映为了;
(3)映射把原象放大4倍映成上半圆域。
再用映射把映成,并把点映成。
于是映射就把映为。
它们的迭合映射就把原象映成上半平面了;
(4)在映射下,原象被映成;
映射;
把映成的上半平面;
从而映射把原象映成的上半平面;
(5)所求映射为。
第六章
6-1。
6-2
(1),
(2)
6-3。
6-4。
6-5。
6-6。
6-7
(1);
6-8;
6-9。
6-10
(1);
(2)了;
(3)。
6-11
(1);
(2);
(7)。
6-12
(1);
(4)
(6);
(7)8)
6-13。
6-14。
6-15
(1);
(5)
6-16
(1);
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