自考计算方法数值分析计算方法复习试题Word文档格式.docx

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所以答案为B.

例2.已知x,2,1.4142135？

.，求的误差限和相对误差限。

x,1.414

解:

（绝对）误差限:

x,1.41,2,0.0002135？

0.0003,0.0005

所以（绝对）误差限为，也可以取,,0.0003,,0.0005。

一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取。

,0.0005

相对误差限:

xx,1.414,1.4142135？

x,（）,,,0.00015？

0.0002,,rx1.414

,0.0002所以，相对误差限r

*x,,,3.1415926？

？

求近似值的误差限，准确数字例3.已知x,3.142或有效数字。

1,3解由误差限为,,，10,x,3.142,3.1415926？

0.00041,2

x因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，m,1,p,,3,m,p,4

3准确到位的近似数。

10

xx注意:

当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出

误差限和有效数字。

2b,a,b例4.已知近似数求的误差限和准确数位。

a,1.2864,b,0.635,

11,4,3解因，,（a）,，10,（b）,，1022

11,3,2，，，，,bb,b,b，b,b,2b,b,2，0.635，，10,，1022

12,22,2所以,，，b,，10,准确到位。

b102

111,4,3,2,（a,b）,,a,,b,,（a），,（b）,，10，，10,，10,222

2准确到位。

10a,b

注意:

函数运算的误差概念，特别是其中的符号。

第2章插值与逼近一、考核知识点

拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方

程组。

1（熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。

2（了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。

3（了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的

例1已知用线性插值计算，并估计误差。

f（4）,2,f（9）,3,f（5）解取插值节点x=4,x=9，两个插值基函数分别为01

x,x1x,x110l（x）,,,（x,9）l（x）,,（x,4）01x,x5x,x50110

23x6故有Lx,lxy，lxy,,x,，x,,，（）（）（）（9）（4）100115555

56f（5）,L（5）,，,2.2155

,,f（）,,误差为R（5）,（5,4）（5,9）,,2f（,）22!

例2已知函数f（x）数值表为

x123

y137

用抛物插值法求近似值f（1.8）。

解作差商表:

yx一阶差商二阶差商

11

322

7413

代入牛顿插值多项式得:

2N（X）,1，2（x,1），（x,1）（x,2）,x,x，12

2f（1.8）,N（1.8）,（1.8）,1.8，1,2.44故2

例3已知的函数表

x012

y8-7.5-18

求在[0，2]内的零点近似值。

解因为y关于x严格单调减少，用反插值法求f（x）零点的近似值比较简单，i

具体作法如下:

先作反函数表

x8-7.5-18

y012

将节点x=8,x=-7.5，x=-18及对应函数值y=0,y=1,y=2代入二次拉格朗日插值多项012012式（2.2），再令x=0,得

（0，7.5）（0，18）（0,8）（0，18）（0,8）（0，7.5,3）L（0）,，0，，1，，22（8，7.5）（8，18）（,7.5,8）（,7.5，18）（,18,8）（,18，7.5）

0.445

*,1x,f（0）,L（0）,0.445于是得f（x）在[0，2]内零点2

值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方

法，否则可能得出错误结果。

例4已知数表:

y3.87.210求最小二乘一次式。

g（x）,a，ax解设最小一次式为，由系数公式得:

101

222s,x,6s,x,14s,n，1,3,,13ii0i,0i,0

22

f,yx,48.2f,y,21,,i10iii,0i,0

3，6,21aa,01于是有法方程组,6a，14a,48.201,

**a,0.8a,3.1解法方程组得01

g（x）,0.8，3.1x所以最小二乘一次式1

例5求下列矛盾方程组的最小二乘解。

x，x,4,12,x，2x,7,12

xx,,212,

u,x，x,4,112,u,x，2x,7解令,212

uxx,,,2312,

222,（xx）,u，u，u12123

222,（x，x,4），（x，2x,7），（x,x,2）121212

,,,2（3x，2x,13）,012,x,,1由,,,,xx,2（2，6,16）,012,,x2,

3x，2x,13,12得法方程组,2x，6x,1612,

2311解得x,x,1277

2311所以最小二乘解为x,x,1277

nmml（x）x,xl（x）,k,0,1,？

nm,n例6已知插值基函数，证明:

当时，,kkk,0kmf（x）,x证明:

令，

（n，1）n,f（）mmxl（x）x,（x）,，则有,kk（n，1）!

k,0

nmm（n，1）l（x）x,xm,n,则f（,）,0因为，所以。

kk,0k

第3章数值积分一、考核知识点:

内插求积公式，代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及

其余项，复化辛卜生公式及其余项。

23（熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项;

熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余

x,,1,x,0,x,1例1在区间上，求以为节点的内插求积公式。

[,1,1]123解:

由系数计算公式得

11x（x1）1（x1）（x1）4,，,Adx,Adx,,,,,01,,,,11（11）3（01）（01）3,,,，,1x（x1）1，Adx,,2,,1（11）3，

1141所以求积公式为f（x）dx,f（,1），f（0），f

（1）,,1333

2141例2求积公式的代数精确度为（）。

f（x）dx,f（0），f

（1），f

（2）,0333

解由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。

3f（x）,x令，代入内插求积公式得

22141133334左边=，右边，所以左边=右边,（0），1，2,4xdx,x,4,033340

4f（x）,x再令，代入内插求积公式得

232141204444,012左边=xdx,，右边=，，,所以左边右边,053333所以此公式具有3次代数精度。

1dx例3用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。

n,4,01，x解

（1）梯形公式

1f（x）,a,0,b,1因为，，代入梯形公式得x，1

111111dx,[f（0），f

（1）],[，],0.75则,0x，1220，11，1

（2）复化梯形公式

b,a1h,,因为和复化梯形公式得44

111113dx,[f（0），2（f（），f（），f（）），f

（1）],0x，18424

14441,[1，2，（，，），],0.69785672

21,,,,f（x）,因为f（x）,，，M,maxf（x）,2230,x,1（1，x）x，1

3（）21b,a,,所以（）（3）Rf,f,,212121696n，

在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列。

1dx,3例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算积分，使误差小于10,01，x解

（1）辛卜生公式

1f（x）,因为a,0,b,1，，代入辛卜生公式得x，1

1dx111111，，4,f（0），4f（），f

（1）,[，4，],0.694,,,011，x6260，11，1，，，12

（2）复化辛卜生公式

24（4）因为Mfx,max（）,,2445,x,01x（1，）

M15,34解不等式R（f）,b,a,,10442880m120m

1m,2,n,4,n,得，用，复化辛卜生公式计算得m,24

1dx1131，，,f（0），4f（），4f（），2f（），f

（1）,,,01，x12442，，

1131，，,f（0），4f（），4f（），2f（），f

（1）,,12442，，

0.69325

A（i,0,1,？

n）例5设为内插求积公式系数i

n1344Ax,（b,a）（n,2）证明,ii4,0i

3f（x）,x，因为证明:

设n,2,R（x）,04

所以

nb33xdx,Ax,ii,ai,0。

nb13443xdx,（b,a）,Ax,ii,a4i,0

第4章线性方程组直接解法

简单消元法，主元消元法（列主元消元法），紧凑格式法，矩阵的三角分解。

1（了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件2（掌握矩阵的三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解）

3

例1用列主元消元法的方程组

2，3，5,5xxx,123,3，4，8,6xxx,123

x，3x，3x,5123,

每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。

解第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，

3x，4x，8x,6123,11,xx,,1,2333,51,xx，,323,33,

5，元为交换第2、3方程位置后消元得第2列主3

xxx3，4，8,6123,51,x，x,3,2333,22,x,,3,55,

x,,1,x,2,x,2回代解得321

例2（将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解）

42,2，，

,A,22,2其中,,

,,2,313，，

说明:

一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。

即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进

行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。

在分解时注意矩阵乘法、矩

阵求逆等代数运算。

r,a,4,r,a,2,r,a,,2;

111112121313

aa113121l,,,l,,,2131a2a21111r,a,lr,1,r,a,lr,,1;

2222211223232113

a,lr323112l,,,2,r,93233r22

则矩阵的Doolittle分解为

，，

,142,242,2，，，，,,1,