普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学试题理科解析版Word下载.docx
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A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lgx<1D.∃x∈R,tanx=2
【答案】B
【解析】对于B选项x=1时,(x-1)2=0,故选B.
⎧x=-1-t
⎩
3、极坐标方程ρ=cosθ和参数方程⎨y=2+3t(t为参数)所表示的图形分别是()
A、圆、直线B、直线、圆C、圆、圆D、直线、直线
4、在Rt∆ABC中,∠C=90°
AC=4,则AB∙AC等于()
A、-16B、-8C、8D、16
5、⎰41dx等于()
2x
A、-2ln2
B、2ln2C、-ln2
D、ln2
6、在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°
,c=
2a,则()
A、a>
bB、a<
bC、a=bD、a与b的大小关系不能确定
【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。
7.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息,不同排列表示
不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
()
A.10B.11C.12D.15
4
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:
第一类:
与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C2=6(个)
d版+微信“hehezmv”
8.表示a,b两数中的最小值。
若函数
的图像关于直线x=-对
2
称,则t的值为()
A.-2B.2C.-1D.1
【答案】D
【解析】由下图可以看出,要使函数
的图像关于直线x=-1对
称,则t=1.
【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力,
考察函数的图象,考察考生数形结合的能力,属中档题。
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答.题.卡.对应题号后的横线上。
9.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是g.
【答案】171.8或148.2
【解析】根据0.618法,第一次试点加入量为
110+(210-110)⨯0.618=171.8
或210-(210-110)⨯0.618=148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法,属容易题。
图1
10.如图1所示,过O外一点P作一条直线与O交于A,B两点,已知PA=2,点P到O的切线长PT=4,则弦AB的长为.
【答案】6
【解析】根据切线长定理
2PT216
PT=PAPB,PB===8
PA2
所以AB=PB-PA=8-2=6
【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理,属容易题。
11.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为.
【答案】
1-(-1)2
【解析】P(|x|≤1)=
=
2-(-1)3
【命题意图】本题考察几何概率,属容易题。
12.图2是求12+22+32+…+1002的值的程序框图,则正整数n=.
图2
13.图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm3
的几何体的三视图,则h=cm.
14.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上
的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p=.
【解析】抛物线的焦点坐标为F(0,p),则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+p,
22
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>
x1),由题意可知y1>
0,y2>
0
⎧y=x+p
由⎪2,消去y得x2-2px-2p2=0,
⎪⎩x2=2py
由韦达定理得,x+x=2p,xx
=-p2
1212
所以梯形ABCD的面积为:
S=1(y+y)(x-x)=1(x+x+p)(x-x)
2122121221
=13P
(x+x)2-4xx=13P
4p2+4p2
=32p2
12122
所以32p2=122,又p>
0,所以p=2
【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标,直线的方程,直线与抛物线的位置关系,考察考生的运算能力,属中档题
15.若数列{a}满足:
对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得a<n成立,记这样的m的个
nm
数为(a)*,则得到一个新数列{(a)*}.例如,若数列{a}是1,2,3…,n,…,则数列{(a)*}是
0,1,2,…,n-1,….已知对任意的n∈N*,a=n2,则(a)*=,((a)*)*=.
n5n
【答案】2,n2
【解析】因为am<
5,而an
=n2,所以m=1,2,所以(a)*=2.
5
因为(a)*=0,
234
(a)*=1,(a)*=1,(a)*=1,
56789
(a)*=2,(a)*=2,(a)*=2,(a)*=2,(a)*=2,
(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a
)*=3,
10111213141516
所以((a)*)*=1,((a)*)*=4,((a)*)*=9,((a)*)*=16,
1234
n
猜想((a)*)*=n2
【命题意图】本题以数列为背景,通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力,属难题。
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;
(II)求函数f(x)的零点的集合。
3sin2x-2sin2x.
33
P(X=0)=C0⨯0.93=0,729,P(X=1)=C1⨯0.1⨯0.92=0,243
P(X=2)=C2⨯0.12⨯0.9=0,027,P(X=3)=C3⨯0.13=0,001
故随机变量X的分布列为
X
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为EX=3⨯0.1=0.3
【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。
属中档题
18.(本小题满分12分)
如图5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点。
(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
A1D1
B1C1E
AD
BC
图5
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?
证明你的结论。
【解析】
所以x=z,y=1z,取z=2,得n=(2,1,2).
设F是棱C1D1上的点,则F(t,1,1)(0≤t≤1),又B1(1,0,1),所以
B1F=(t-1,1,0),而B1F⊄平面A1BE,于是
B1F//平面A1BE⇔B1Fn=0⇔(t-1,1,0)(2,1,2)=0⇔2(t-1)+1=0
⇔t=2⇔F为C1D1的中点。
这说明在在棱C1D1上是否存在一点F(C1D1的中点),使B1F//平面A1BE
解法2如图(a)所示,取AA1的中点M,连结EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1
为正方形,所以EM//AD。
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中。
AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥ABB1A1,从而BM为直线BE
在平面ABB1A1上的射影,∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=
22+21+12=3,于是
在RT△BEM中,sin∠EBM=EM=2
BE3
19.(本小题满分13分)
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系
(图6).在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过
km的区域;
在直线x=2的
左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过4
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
km的区域.
(Ⅱ)如图6所示,设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
化区域
P(-83,6)y
P(8,6)
233
融
已冰
P1(-53,-1)
A(-4,0)O
B(4,0)x
川
x=2
(Ⅰ)设边界曲线上点P的坐标为(x,y).当x≥2时,由题意知(x-4)2+y2=36
当x<
2时,由|PA|+|PB|=4
5知,点P在以A,B焦点,长轴长为2a=45
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