高考圆锥曲线典型例题必考Word格式文档下载.docx
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【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;
求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF1|·
|PF2|≤(
)2,|PF1|≥a-c.【变式训练2】已知P是椭圆
=1上的一点,Q,R分别是圆(x+4)2+y2=
和圆
(x-4)2+y2=
上的点,则|PQ|+|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9.
题型三 有关椭圆的综合问题
【例3】
(2010全国新课标)设F1,F2分别是椭圆E:
=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且
|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率;
(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.
(1)
.(2
)为
【变式训练3】已知椭圆
=1(a>b>0)的离心率为e,两焦点为F1,F2,抛物线以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若
=e,则e的值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B
题型思 有关椭圆与直线综合问题
【例4】【2012高考浙江理21】如图,椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,其左焦点到点P(2,1)的距离为
.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
ABP的面积取最大时直线l的方程.
【变式训练4】【2012高考广东理20】
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
的离心率e=
,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线
:
mx+ny=1与圆O:
x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?
若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;
若不存在,请说明理由.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定a、b的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)求解.
2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭圆离心率的范围.
练习
1(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆
的右焦点为
右准线为
,点
,线段
交
于点
,若
则
=()
A.
B.2C.
D.3
选A
.2(2009浙江文)已知椭圆
的左焦点为
,右顶点为
在椭圆上,且
轴,直线
轴于点
.若
,则椭圆的离心率是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3.(2009江西卷理)过椭圆
(
)的左焦点
作
轴的垂线交椭圆于点
,
为右焦点,若
,则椭圆的离心率为
A.
【答案】B
4.【2012高考新课标理4】设
是椭圆
的左、右焦点,
为直线
上一点,
是底角为
的等腰三角形,则
的离心率为()
【答案】C
5【2012高考四川理15】椭圆
,直线
与椭圆相交于点
、
,当
的周长最大时,
的面积是____________。
【答案】3
6【2012高考江西理13】椭圆
的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。
若
成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.【答案】
【例4】【解析】
(Ⅰ):
.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:
y=
x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=
x0.
∴
设直线AB的方程为l:
y=﹣
(m≠0),入椭圆:
.显然
.∴﹣
<m<
且m≠0.由上又有:
=m,
∴|AB|=
|
|=
∵点P(2,1)到直线l的距离表示为:
∴S
ABP=
d|AB|=
|m+2|
,当|m+2|=
,即m=﹣3或m=0(舍去)时,(S
ABP)max=
此时直线l的方程y=﹣
【变式训练4】【解析】
(1)设
由
,所以
设
上任意一点,则
当
时,当
时,
有最大值
,可得
不合题意
故椭圆
的方程为:
(2)
中,
当且仅当
时,点
到直线
的距离为
又
,此时点
。
9.2 双曲线
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A:
(x+4)2+y2=2外切,与圆B:
x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】
-
=1(x≥
).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线
=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和
(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
A.6B.7C.8D.9【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C:
=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使
=0,求此双曲线离心率的取值范围.【解析】
(1,
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C:
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2-e2>1B.k2-e2<1
C.e2-k2>1D.e2-k2<1【解析】,故选C.
题型三 有关双曲线的综合问题
【例3】
(2010广东)已知双曲线
-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.
(1)轨迹E的方程为
+y2=1,x≠0且x≠±
.
(2)符合条件的h的值为
或
【变式训练3】双曲线
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于( )
A.1+2
B.3+2
C.4-2
D.5-2
【解析】故选D
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质,但应特别注意不同点,如a,b,c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,P的轨迹是双曲线;
当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;
当
||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要掌握以下两个问题:
(1)已知双曲线方程,求它的渐近线;
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=±
x,可将双曲线方程设为
=λ(λ≠0),再利用其他条件确定λ的值,求法的实质是待定系数法.
1、【2012高考山东理10】已知椭圆
的离心学率为
.双曲线
的渐近线与椭圆
有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆
的方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
2.直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同两点,则k的取值范围是
A.(-
)B.(0,
)
C.(-
,0)D.(-
,-1)
3.【2012高考湖北理14】如图,双曲线
的两顶点为
,虚轴两端点为
,两焦点为
.若以
为直径的圆内切于菱形
,切点分别为
.则
(Ⅰ)双曲线的离心率
;
(Ⅱ)菱形
的面积
与矩形
的比值
.【答案】
【例3】由题意知|x1|>
,A1(-
,0),A2(
,0),则有直线A1P的方程为y=
(x+
),①直线A2Q的方程为y=
(x-
).②方法一:
联立①②解得交点坐标为x=
,y=
,即x1=
,y1=
,③则x≠0,|x|<
而点P(x1,y1)在双曲线
-y2=1上,所以
-y
将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为
方法二:
设点M(x,y)是A1P与A2Q的交点,①×
②得y2=
(x2-2).③
又点P(x1,y1)在双曲线上,因此
=1,即y
-1.
代入③式整理得
+y2=1.
因为点P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(
,0)的直线l的方程为x+
y-
=0.
解方程组
得x=
,y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0,-1).
综上分析,轨迹E的方程为
(2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1),
联立
+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.
令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0
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