新教材教案1012 事件的关系和运算 教学设计1人教A版高中数学必修第二册Word文件下载.docx

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在具体事例中分析事件关系与运算

1.教学重点：

件运算关系的实际含义．

2.教学难点：

事件运算关系的应用.

多媒体

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。

这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.

例如：

Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;

D1=“点数不大于3”；

D2=“点数大于3”；

E1=“点数为1或2”；

E2=“点数为2或3”；

F=“点数为偶数”；

G=“点数为奇数”；

请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？

引例：

在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件

用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G.这时我们说事件G包含事件C1.

；

一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）,记作AUB（或A+B）.

可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.

一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）,记作A∩B（或AB）.

蓝色区域表示交事件

用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”.它们分别C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.

一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,

即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥（或互不相容）.

可以用图表示这两个事件互斥.

其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．

用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩（1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.

一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.

其含义是：

事件A与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．

事件A的对立事件记为,可以用图表示为.

1.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：

Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;

D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；

E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。

判断下列结论是否正确.

（1）C1与C2互斥；

（2）C2,C3为对立事件;

（3）C3⊆D2;

（4）D3⊆D2;

（5）D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;

（6）D3=C5∪C6;

（7）E=C1∪C3∪C5;

（8）E,F为对立事件；

（9）D2∪D3=D2;

（10）D2∩D3=D3.

答案：

（2）错，其余都对

综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下

事件的关系或运算

含义

符号表示

包含

A发生导致B发生

A⊆B

并事件（和事件）

A与B至少一个发生

AUB或A+B

交事件（积事件）

A与B同时发生

A∩B或AB

互斥（互不相容）

A与B不能同时发生

A∩B=Φ

互为对立

A与B有且仅有一个发生

A∩B=Φ,AUB=Ω

类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.

例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC（或A+B+C）发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.

例5如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.

（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；

（2）用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；

（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.

分析：

注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组（x1,x2）表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.

解：

（1）用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用（x1,x2）表示这个并

联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）}.

（2）A={（1,0）,（1,1）},B={（0,1）,（1,1）},

（3）用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用（x1,x2）表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.

A∪B={（0,1）,（1,0）,（1,1）},A∩B={（0,0）};

A∪B表示电路工作正常,

表示电路工作不正常；

A∪B和互为对立事件.

例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=

“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”

（2）事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？

（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？

事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？

用数组（x1,x2）表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号

Ω={（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）}

R1={（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）}

R2={（2,1）,（3,1）,（4,1）,（1,2）,（3,2）,（4,2）}

R={（1,2）,（2,1）}

G={（3,4）,（4,3）},M={（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）}

N={（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）}

（2）因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；

因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.

（3）因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；

因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.

由具体事例出发，提出问题，让学生了解事件关系和运算与集合运算的联系。

发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过联系集合运算和韦恩图帮助学生理解事件关系及其运算。

发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过实例分析，让学生掌握分析事件关系的方法加深对概念的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）.

（A）至多一次中靶（B）两次都中靶

（C）只有一次中靶（D）两次都没有中靶

解析：

“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”，所以选D

2.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚

是正面为事件N,则有（）

A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<

N

A

3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},

则P∪Q＝,

M∩Q＝_______________________.

{向上的点数是1或3或4}　{向上的点数是3}

4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．

至少有一件是二级品

5.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．

（1）恰有一名男生与恰有2名男生；

（2）至少有1名男生与全是男生；

（3）至少有1名男生与全是女生；

（4）至少有1名男生与至少有1名女生．

[解析]　判别两个事件是否互斥，就是考查它们是否能同时发生；

判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生．

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；

当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们互斥不对立事件．

（2）因为“恰有两名男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

（3）因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；

由于它们必有一个发生，所以它们互斥对立．

（4）由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

[点评]　判断两个互斥事件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。

四、小结

事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下

（1）包含关系、相等关系的判定

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；

②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．

（2）判断事件是否