江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案文档格式.docx
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14.已知k为常数,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有四个不同解,则实数k的取值构成的集合为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=-2ccosC.
(1)求角C的大小;
(2)若b=2a,且△ABC的面积为2,求c的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为BC的中点,AB=AC,BC1⊥B1D.求证:
(1)A1C∥平面ADB1;
(2)平面A1BC1⊥平面ADB1.
17.(本小题满分14分)
如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD,CD两段.其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60°
,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设∠ADB=α,制作整个支架的总成本记为S元.
(1)求S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问AD段多长时,S最小?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
+=1(a>
b>
0)的离心率为,左焦点F(-2,0),直线l:
y=t与椭圆交于A,B两点,M为椭圆E上异于A,B的点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M(-,-1),以AB为直径的圆P过点M,求圆P的标准方程;
(3)设直线MA,MB与y轴分别相交于点C,D,证明:
OC·
OD为定值.
19.(本小题满分16分)
已知b>
0,且b≠1,函数f(x)=ex+bx,其中e为自然对数的底数.
(1)如果函数f(x)为偶函数,求实数b的值,并求此时函数f(x)的最小值;
(2)对满足b>
0,且b≠1的任意实数b,证明:
函数y=f(x)的图象经过唯一定点;
(3)如果关于x的方程f(x)=2有且只有一个解,求实数b的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,总存在正数p,q,r,使得an=pn-1,Sn=qn-r恒成立;
数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意正整数n,2Tn=nbn恒成立.
(1)求常数p,q,r的值;
(2)证明:
数列{bn}为等差数列;
(3)若b2=2,记Pn=+++…++,是否存在正整数k,使得对任意正整数n,Pn≤k恒成立?
若存在,求正整数k的最小值;
若不存在,请说明理由.
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,BC=BD,BA的延长线交CD的延长线于点E,延长CA至点F.求证:
AE是∠DAF的平分线.
B.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M=,其中a,b均为实数,若点A(3,-1)在矩阵M的变换作用下得到点B(3,5),求矩阵M的特征值.
C.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a>
0,φ为参数),且曲线C上的点M(2,)对应的参数φ=,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的普通方程;
(2)若曲线C上的A,B两点的极坐标分别为A(ρ1,θ),B,求+的值.
D.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|,若对任意x∈R,不等式f(x)>
a2-3恒成立,求实数a的取值范围.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
22.(本小题满分10分)
如图,AC⊥BC,O为AB的中点,且DC⊥平面ABC,DC∥BE.已知AC=BC=DC=BE=2.
(1)求直线AD与CE所成角;
(2)求二面角OCEB的余弦值.
23.(本小题满分10分)
某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A等级的概率都是,该学生各学科等级成绩彼此独立.规定:
有一门学科获A等级加1分,有两门学科获A等级加2分,有三门学科获A等级加3分,四门学科全获A等级则加5分.记ξ1表示该生的加分数,ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值.
(1)求ξ1的数学期望;
(2)求ξ2的分布列.
2018届镇江高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1.{0,1} 2.充要 3. 4.1 5.x=
6. 7.-32 8.3+2 9.4 10.[-,1]
11.(x+3)2+(y+3)2=18 12.y=x+
13. 14.∪(-e,-1)
15.解析:
(1)由正弦定理==,
且bcosA+acosB=-2ccosC得(2分)
sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC,
所以sin(B+A)=-2sinCcosC.(3分)
因为A,B,C为三角形的内角,所以B+A=π-C,
所以sinC=-2sinCcosC.(4分)
因为C∈(0,π),所以sinC>
0.(5分)
所以cosC=-,(6分)
所以C=.(7分)
(2)因为△ABC的面积为2,
所以absinC=2.(8分)
由
(1)知C=,所以sinC=,所以ab=8.(9分)
因为b=2a,所以a=2,b=4,(11分)
所以c2=a2+b2-2abcosC=22+42-2×
2×
4×
=28,(13分)
所以c=2.(14分)
16.解析:
(1)设A1B∩AB1=E.
因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以AA1B1B为矩形,所以E为A1B的中点.(1分)
因为D为BC的中点,所以DE为△BA1C的中位线,(2分)
所以DE∥A1C,且DE=A1C.(3分)
因为A1C⊄平面ADB1,DE⊂平面ADB1,(5分)
所以A1C∥平面ADB1.(7分)
(2)因为AB=AC,D为BC的中点,
所以AD⊥BC.(8分)
因为ABCA1B1C为直三棱柱,
所以BB1⊥平面ABC.
因为AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD.(9分)
因为BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B,BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面BCC1B1.(10分)
因为BC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥BC1.(11分)
因为BC1⊥B1D,AD⊂平面ADB1,B1D⊂平面ADB1,AD∩B1D=D,
所以BC1⊥平面ADB1.(13分)
因为BC1⊂平面A1BC1,
所以平面A1BC1⊥平面ADB1.(14分)
17.解析:
(1)在△ABD中,由正弦定理得==,(1分)
所以BD=,AD=+,(3分)
则S=a+2a[1-(+)]+4a
=a,(6分)
由题意得α∈.(7分)
(2)令S′=a·
=0,设cosα0=.
α
α0
cosα
S′
<
>
S
单调递减
极小
单调递增
(11分)
所以当cosα=时,S最小,
此时sinα=,AD=+=.(12分)
18.解析:
(1)因为e==且c=2,
所以a=2,b=2.(2分)
所以椭圆方程为+=1.(4分)
(2)设A(s,t),则B(-s,t),且s2+2t2=8.①
因为以AB为直径的圆P过M点,
所以MA⊥MB,所以·
=0,(5分)
因为=(s+,t+1),=(-s+,t+1),
所以6-s2+(t+1)2=0. ②(6分)
由①②解得t=或t=-1(舍),所以s2=.(7分)
因为圆P的圆心为AB的中点(0,t),半径为=|s|,(8分)
所以圆P的标准方程为x2+=.(9分)
(3)设M(x0,y0),则lAM的方程为y-y0=·
(x-x0),若k不存在,显然不符合条件.
令x=0得yC=;
同理yD=,(11分)
所以OC·
OD=|yC·
yD|==(13分)
====4为定值.(16分)
19.解析:
(1)由f
(1)=f(-1)得e+b=+,
解得b=-e(舍),或b=,(1分)
经检验f(x)=ex+为偶函数,所以b=.(2分)
因为f(x)=ex+≥2,当且仅当x=0时取等号,(3分)
所以f(x)的最小值为2.(4分)
(2)假设y=f(x)过定点(x0,y0),则y0=ex0+bx0对任意满足b>
0,且b≠1恒成立.(5分)
令b=2得y0=ex0+2x0;
令b=3得y0=ex0+3x0,(6分)
所以2x0=3x0,即=1,解得唯一解x0=0,所以y0=2,(7分)
经检验当x=0时,f(0)=2,所以函数y=f(x)的图象经过唯一定点(0,2).(8分)
(3)令g(x)=f(x)-2=ex+bx-2为R上的连续函数,且g(0)=0,则方程g(x)=0存在一个解.(9分)
(i)当b>
0时,g(x)为增函数,此时g(x)=0只有一解.(10分)
(ii)当0<
b<
1时,令g′(x)=ex+bxlnb=ex(1+()xlnb)=0,解得x0=log(-lnb).(11分)
因为ex>
0,0<
1,lnb<
0,令h(x)=,h(x)为单调增函数,
所以当x∈(-∞,xe)时,h(x)<
0,所以g′(x)<
0,g(x)为单调减函数;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)>
0,所以g′(x)>
0,g(x)为单调增函数,
所以g极小(x)=g(x
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