工程流体力学推导题集锦-中国石油大学(北京)微笑奉献.doc
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工程流体力学推导题集锦
一、推求流线的微分方程
方向相同
某瞬时在流线上任取一点,位于点的流体质点速度为,其分量为,在流线上取无穷小线段,其在三个坐标轴上的投影为,由空间几何关系及有方向相同:
(流线微分方程)
二、推求流体静平衡微分方程
在静止流体中取如图所示微小六面体。
设其中心点的密度为,压强为,所受质量力为。
由于压强分布是空间坐标的连续函数:
,那么点上的静压强为:
(泰勒级数展开,略去小项)
以方向为例,列力平衡方程式:
表面力:
质量力:
根据有
同理,考虑y,z方向,可得:
上式即为流体平衡微分方程
三、推导圆管层流、和的计算公式
与圆管同轴取微元柱体,。
受到切应力和压力,,由均匀流动的力平衡方程:
对于层流有
,,
代入整理可得
积分并代入条件时,得
过流断面上半径为处取宽度为的微元环形面积。
通过该面积的流量为
由此可得通过整个过流断面流量
由以上可求得流体作恒定层流时的平均流速为
(比较可得)
所以,
因此对于圆管层流,易得其水头损失为
令,则
四.推导直角坐标系中的连续性微分方程
在空间流场中取一固定的平行六面体微小空间,边长为,所取坐标如图所示。
中心为点,该点速度为,密度为,计算在时间内流入、流出该六面体的流体质量。
首先讨论沿方向的质量变化。
由于速度和密度是坐标的连续函数,因此由而流入的质量为:
由面流出的质量为
因此,在时间内,自垂直于轴的两个面流出、流入的流体质量差为:
同样道理可得时间内,分别垂直于轴的平面流出、流入的流体质量差为:
因此,在时间内流出、流入整个六面体的流体质量差为
对于可压缩流体,在时间内,密度也将发生变化,流体密度的变化同样引起六面体内流体质量的改变。
以表示质量随时间的增量,设时刻流体密度为,时刻流体密度为,则
由质量守恒条件知
(注意正负号)
故有
整理得
即为直角坐标系下的连续性微分方程
五.由粘性流体微小流束的伯努利方程推导出总流的伯努利方程。
如图:
1-1和2-2断面为两个缓变的过流断面,任取一个微小流束,当粘性流体恒定流动且质量力只有重力作用时,对微小流束的1-1和2-2断面伯努利方程,得单位重力流体的总能量:
单位时间内流过微小流束过流断面1-1和2-2流体的总能量为:
单位时间内总流流经过流断面1-1和2-2流体的总能量为
前面讲过在缓变过流断面上,所有各点压强分布遵循静压强的分布规律:
,因此在所取的过流断面为缓变流动的条件下,积分
(1)
若以平均流速计算单位时间内通过过流断面的流体动能:
(2)
单位时间内流体克服摩擦阻力消耗的能量中,为一无规律变化的值,但可令
(3)
将
(1)
(2)(3)代入上式,并且已知不可压流体,流量连续,得:
等式两边同除,得到重力作用下不可压缩粘性流体恒定总流的伯努利方程:
六.推导静止流体对平面壁的作用力计算公式
为一块面积为的任意形状的平板,与液体表面呈角放置,液体内部的压强取相对压强。
作用在微分面积上的压力:
作用在平面ab上的总压力:
由工程力学知:
为受压面面积A对OX轴的静矩
再由,
故
即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与
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