高中数学北师大版必修2综合测试1含答案Word文档格式.docx
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即x+y-3=0.
3.若P(2,-1)为圆C:
(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )
A.x-y-3=0B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0D.2x-y-5=0
[答案] A
[解析] 由题意知圆心为C(1,0),则AB⊥CP,
∵kCP=-1,∴kAB=1,
直线AB的方程为y+1=x-2,
即x-y-3=0.
4.(安徽高考)下列说法中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
[解析] 由空间几何中的公理可知,仅有A不是公理,其余皆为公理.
5.在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为( )
A.(5,-3)B.(9,0)
C.(-3,5)D.(-5,3)
[解析] 过P(2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点P作直线3x-4y-27=0的垂线方程为4x+3y+m=0,而点P(2,1)在此垂线上,所以4×
2+3×
1+m=0.
所以m=-11.
由联立求解,
得所求的点的坐标为(5,-3).
6.(安徽高考)直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )
A.1B.2
C.4D.4
[解析] 本题考查了圆的垂径定理.
圆心到直线的距离d==1,半弦长==2.
∴弦长=4.
7.底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则此球的体积为( )
A.9πB.
C.4πD.3π
[解析] ∵底面边长为,∴直角边长为,
∴2R=3,R=,
V球=π3=π.
8.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得劣弧所对的圆心角为( )
A.B.
C.D.
[解析] 由已知可得直线与圆相交,且圆心到直线的距离d==.而圆的半径为2.
∴直线与圆的两交点与圆心构成等边三角形.
∴可得劣弧所对的圆心角为.
9.如图,定圆的半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( )
A.第四象限B.第三象限
C.第二象限D.第一象限
[解析] 由图知,a>
0,b<
0,c>
0,且c<
a<
|b|.解方程组得交点坐标为.
∵>
0,<
0,∴交点在第三象限.
10.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )
A.3B.4
C.5D.6
[答案] D
[解析] 如图①所示,这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成,如图②所示,这个几何体最小时有5个小正方体构成,因此,这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)
11.如图,已知a∥α,B、C、D∈a,点A与a在平面α的异侧,直线AB、AC、AD分别交α于E、F、G三点,若BC=5,AD=7,DG=4,则EF的长为______.
[答案]
[解析] 由题知,===,∴=,∴EF=.
12.(2014·
重庆理,13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.
[答案] 4±
[解析] 本题考查了等边三角形的性质点到直线的距离公式.
圆心坐标是(1,a),半径是2,由已知可得
=,
即a2-8a+1=0,解得a=4±
,
解决本题要充分利用三角形ABC是等边三角形的性质.
13.(2014·
山东文,13)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.
[答案] 12
[解析] 本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算.
如图所示.由体积V=×
6×
×
4·
h=2
求得高h=1.
取AB中点G,连接OG、PG.
∵OA=OB,∴AB⊥GO.
又PO⊥AB,PO∩GO=O,
∴AB⊥面PGO,∴AB⊥PG.
又PO=1,GO=×
2=,∴PG=2.
∴S侧=6×
AB·
PG=3×
2×
2=12.
14.设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是________(填序号).
①X,Y,Z是直线;
②X,Y是直线,Z是平面;
③Z是直线,X,Y是平面;
④X,Y,Z是平面.
[答案] ②③
[解析] ①不行,反例为直线X,Y,Z位于正方体的三条共点棱时,②,③可以.
④不行,反例为平面X,Y,Z位于正方体的三个共点侧面时.
15.若⊙O:
x2+y2=5与⊙O1:
(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________.
[答案] 4
[解析] 如图所示,在Rt△OO1A中,OA=,O1A=2,
∴OO1=5.
∴AC==2.∴AB=2AC=4.
三、解答题(本大题共6个小题,满分75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)若直线l垂直于直线2x+5y-1=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积是5,求直线l的方程.
[解析] 直线2x+5y-1=0的斜率是-,所以直线l的斜率是,设直线l的方程是y=x+b,则直线在x轴,y轴上的截距分别是-b,b,
所以S=·
·
|b|=5,则b2=25,
所以b=±
5,
所以y=x±
5,即5x-2y±
10=0,
即所求直线l的方程是5x-2y±
10=0.
17.(本小题满分12分)(天津高考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明:
EF∥平面A1CD;
(2)证明:
平面A1CD⊥平面A1ABB1.
[解析]
(1)证明:
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1.
又EF⃘平面A1CD,DA1平面A1CD,所以,EF∥平面A1CD.
由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱A1A⊥底面ABC,CD平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
18.(本小题满分12分)正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D、E分别是SA、BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体体积.
[解析] 如图,连接AE.
在正四面体中,AE=SE.
∴DE⊥SA.又AE=SE=a,AS=a,
∴DE==a.
过点D作DF⊥SE于点F.
有Rt△SDE中,DF==a.
当△SDE绕直线SE旋转一周时得到两个圆锥,
其体积为V旋转体=·
πDF2·
SF+·
FE
=DF2(SF+FE)=DF2·
SE=(a)2·
a
=πa3.
即所得旋转体的体积是πa3.
19.(本小题满分12分)已知圆C:
x2+y2-2x-4y-20=0及直线l:
(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).
(1)求证:
不论m取什么实数,直线l与圆C总相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程.
把直线l的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
由方程组解得
∴直线l总过定点(3,1).
圆C的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.
∴圆C的圆心为(1,2),半径为5,定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为=<
5.
∴点(3,1)在圆C内.
∴过点(3,1)的直线l总与圆C相交,即不论m为何实数,直线l与圆C总相交.
(2)解:
当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的半径时,l被圆截得的弦长|AB|最短.(如下图)
|AB|=2
=2
=2=4.
此时,kAB=-=2.
∴直线AB的方程为y-1=2(x-3),
即2x-y-5=0.
故直线l被圆C截得的弦长的最短长度为4,此时直线l的方程为2x-y-5=0.
20.(本小题满分13分)求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:
(1)过原点;
(2)有最小面积.
[解析] 设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0.
(1)∵圆过原点,∴1+4λ=0,λ=-.
故所求圆的方程为x2+y2+x-y=0.
(2)将圆系方程化为标准式,得
(x+1+λ)2+(y+)2
=(λ-)2+.
则当λ=时,半径取最小值.
此时圆的方程为(x+)2+(y-)2=.
21.(本小题满分14分)如下图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB,PH为△PAD中AD边上的高.
PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;
(3)证明:
EF⊥平面PAB.
[证明]
(1)证明:
因为AB⊥平面PAD,
所以PH⊥AB,
因为PH为△PAD中AD边上的高,
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD=A,
所以PH⊥平面ABCD.
(2)连接BH,取BH中点G,连接EG,
因为E是PB的中点,
所以EG∥PH,
因为PH⊥平面ABCD,
所以EG⊥平面ABCD,
则EG=PH=,
VE-BCF=S△BCF·
EG=·
FC·
AD·
EG=.
取PA中点M,连接MD,ME,
因为E是PB的中点,所以ME綊AB.
因为DF綊AB,所以ME綊DF,
所以四边形MEFD是平行四边形.
所以EF∥MD,
因为PD=AD,所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.
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