广东省华南师大附中学年高一下学期期末数学试题Word格式.docx
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11.已知正三棱锥,点,,,都在半径为的球面上,若,,两两互相垂直,则球心到截面的距离为()
12.已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是()
A.B.[,]
C.D.)
二、填空题
13.直线与直线之间的距离为______.
14.不论为何实数,直线恒过定点______.(请写出该定点坐标)
15.已知是圆内一点,则过点的最短弦所在直线方程是______.
16.如图,矩形中,为边的中点,将沿直线翻折至,若为线段的中点,则在翻折过程中,有下列命题:
①是定值;
②一定存在某个位置,使;
③若平面,则平面;
其中正确的是______.
三、解答题
17.已知中,,,.
(1)求直线的方程;
(2)求边上的高所在的直线方程.
18.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,、为,的中点.
(1)求证:
平面;
(2)若平面平面,求证:
.
19.已知直线:
,过点且圆心在轴上的圆与轴相切.
(1)求圆的方程;
(2)求直线被圆截得的弦长.
20.如图,三棱柱中,四边形是菱形,四边形是矩形,,,,.
平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
21.已知关于直线对称,且圆心在轴上.
(1)求的标准方程;
(2)已知动点在直线上,过点引的两条切线、,切点分别为.
①记四边形的面积为,求的最小值;
②证明直线恒过定点.
22.已知函数的定义域为,对于给定的,若存在,使得函数满足:
①函数在上是单调函数;
②函数在上的值域是,则称是函数的级“理想区间”.
(1)判断函数,是否存在1级“理想区间”.若存在,请写出它的“理想区间”;
(只需直接写出结果)
(2)证明:
函数存在3级“理想区间”;
()
(3)设函数,,若函数存在级“理想区间”,求的值.
参考答案
1.A
【解析】
A中几何体有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,是棱柱,故选A.
点睛:
棱柱、棱锥、棱台的结构特征:
棱柱:
有两个面互相平行,其余各个面都是四边形,每相邻两个四边形的公共边都互相平行;
棱锥:
有一个面(即底面)是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形;
棱台:
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分就是棱台.
2.B
【分析】
将直线方程化为斜截式,可得斜率,由斜率与倾斜角关系即可求得倾斜角.
【详解】
直线,化为斜截式可得
则斜率
由斜率与倾斜角关系可得
由
可得
故选:
B
【点睛】
本题考查了几种直线方程间的转化,直线斜率与倾斜角关系,属于基础题.
3.A
根据点斜式方程的写法可得直线方程,化为一般方程即可得直线的方程.
线经过点,且斜率为
由点斜式可得直线方程为
化为一般式可得
A
本题考查了点斜式方程的应用,点斜式与一般式方程的转化,属于基础题.
4.B
根据底面半径和母线,可以求得圆锥的高.由圆锥的体积公式即可求解.
圆锥的底面半径是3,母线长是5
则圆锥的高为
由圆锥的体积公式可得
本题考查了圆锥的结构特征,圆锥体积的求法,属于基础题.
5.C
根据两个圆的圆心距与半径关系,即可判断两个圆的位置关系.
圆与圆
所以圆心坐标为和;
圆的半径分别为和
圆心距为
而
由圆与圆的位置判断方法可知,两个圆内含
C
本题考查了由圆心距与半径关系判断圆与圆位置关系,属于基础题.
6.D
在平面直角坐标系中描出三个点,即可根据三角形面积公式求解.
将三个点的坐标描在平面直角坐标系中,如下图所示:
由图可知,三角形ABC为直角三角形
所以
D
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示,三角形面积求法,属于基础题.
7.A
因为D⊥底面ABCD,故可由三垂线定理法作出二面角的平面角,即∠AD,直接求解即可.
因为D⊥底面ABCD,又A⊥AB,∴A⊥AB,所以∠AD即为二面角﹣AB﹣D的平面角,因为∠AD=45°
,所以二面角﹣AB﹣D的大小是45°
.
故选:
A.
本题考查二面角的作法和求解,考查空间想象能力和运算能力.
8.B
分析:
把直线化为直线的斜截式方程,分类讨论,即可作出判段.
详解:
由,整理得,
当时,,此时排除A;
又由,此时排除B;
当时,,此时排除D,故选B.
本题主要考查了直线方程的应用,把直线的方程整理为直线的斜截式方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
9.D
根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,即可判断选项.
对于A,若,,,则由直线与平面位置关系必有,所以A正确;
对于B,若,,由直线与平面位置关系可得或,所以B正确;
对于C,若,,,由平面与平面的位置关系可知,所以C正确;
对于D,若,,则,或与相交都可能,所以D错误.
综上可知,错误的为D
本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断,对空间想象能力要求较高,属于基础题.
10.C
试题分析:
设的交点为,连接,则为所成的角或其补角;
设正四棱锥的棱长为,则,所以
,故C为正确答案.
考点:
异面直线所成的角.
11.B
根据,,两两互相垂直可知,三棱锥的外接球即为以为棱长的正方体的外接球.由外接球半径即可求得正方体的棱长.进而利用等体积法求得点到平面的距离,即可求得球心到截面的距离.
正三棱锥中,,两两互相垂直
则三棱锥的外接球即为以为棱长的正方体的外接球
因为正三棱锥的外接球半径为
设正方体的棱长为
则
即
所以
则
设点到平面的距离为
由等体积法可知
即,代入可得
解得
则球心O到截面的距离为
本题考查了正三棱锥的结构特征,正方体的外球球求法,,球的结构特征及应用,属于中档题.
12.D
由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为,则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径,据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
圆C(2,0),半径r=,设P(x,y),
因为两切线,如下图,PA⊥PB,由切线性质定理,知:
PA⊥AC,PB⊥BC,PA=PB,所以,四边形PACB为正方形,所以,|PC|=2,
则:
,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
直线过定点(0,-2),直线方程即,
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,
即:
,解得:
,
即实数的取值范围是).
本题选择D选项.
本题主要考查直线与圆的位置关系,轨迹方程的求解与应用,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13.;
根据直线方程可判断两条直线互相平行,由平行线间距离公式即可求解.
直线与直线平行
则由平行线间距离公式
代入即可求得
故答案为:
本题考查了平行线间距离公式的应用,属于基础题.
14.;
将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标.
直线
变形可得
当满足时,不论为何实数,直线恒过定点
解方程组可得
所以不论为何实数,直线恒过定点的坐标为
本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题.
15.;
将圆的方程化为标准方程.当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.根据垂直关系,可得过点的最短弦所在直线方程的斜率,再由点斜式即可求得直线方程.
圆,化为标准方程可得
所以圆心为
由题意可知,在圆内
当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
过点的直径所在直线的斜率为
所以由两垂直直线的斜率乘积等于可知,过点与圆相交所得弦长最短的直线方程的斜率为
由点斜式可知
本题考查了直线与圆的性质,圆的几何性质的综合应用,垂径定理及其性质的应用,属于基础题.
16.①③
取中点,连接结合余弦定理即可证明①;
假设,可得线面垂直,根据线面垂直的性质可得矛盾,进而判断②;
可证明平面平面,即证明③.
根据题意,取中点,连接,如下图所示:
对于①,定值
由可知四边形为平行四边形,可得定值
且定值
所以在中,由余弦定理可知
定值
所以①正确.
对于②,当时,不存在满足成立的点.
因为当时,
所以,即
若此时,由
可知平面,则
与矩形中矛盾(过直线外一点,作已知直线的垂线有且只有一条),所以②错误.
对于③,根据中位线定理可知
由矩形性质可知,所以
所以平面平面
即平面
所以③正确.
综上可知,正确的为①③
①③
本题考查了空间中点线面的位置关系,直线与平面平行和垂直的判定,对空间想象能力要求较高,属于难题.
17.
(1);
(2)
(1)先根据两点间斜率公式求得,再由点斜式即可得到直线方程,化为一般式即可.
(2)根据垂直直线的斜率关系,可先求得的高所在直线的斜率,再由点斜式可得直线方程,化为一般式即可.
(1)中,,,
由两点间斜率公式可得,
所以直线的方程为,
即.
(2)设边上的高所在的直线为,
则由垂直直线的斜率乘积为可得,
所以的直线方程为,
∴边上的高所在的直线方程为:
本题考查了两点间斜率公式,两条垂直直线的斜率关系及点斜式方程的用法,不同方程间的转化,属于基础题.
18.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析
(1)取中点,连接,.可证明四边形和为平行四边形,即可根据线面平行的判定定理证明.
(2)由题意可知,根据平面平面及交线为,再由平面即可证明.
(1)证明:
取中点,连接,.如下图所示,
∵,分别为和的中点,
∴,且.
∵四边形为平行四边形,且为的中点,
∴,,
∴,且,
∴四边形为平行四边形,
∴.
又平面,平面,
∴平面.
(2)证明:
∵,且为的中点,
∵平面平面,平面平面,
∵面,
本
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