高三数学抛物线方程及性质Word格式.docx
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A.B.C.D.0
2.(2005上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()
A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在
3.焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是()
A.y2=16xB.y2=16xC.x2=-8yD.以上说法都不对.
4.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF与FQ的长分别为p、q,则等于()
ABCD
5.下图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点A(0,9),其轨迹方程是y=ax2+c(a<0),D=(6,7)为x轴上的给定区间.为使物体落在D内,a的取值范围是___________;
6.已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是_____________(用x0表示);
简答:
1-4.BBDC;
4.考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,
5.把点A的坐标(0,9)代入y=ax2+c得c=9,即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9.
令y=0,得ax2+9=0,即x2=-.
若物体落在D内,应有6<<7,
解得-<a<-.6.N(x0+4,0)
四、经典例题做一做
【例1】给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.
解:
设P(x0,y0)(x0≥0),则y02=2x0,
∴d=|PA|=
==.
∵a>0,x0≥0,
∴
(1)当0<a<1时,1-a>0,
此时有x0=0时,dmin==a.
(2)当a≥1时,1-a≤0,
此时有x0=a-1时,dmin=.
【例2】过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB,点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1,求∠A1FB1.
解法1:
由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°
-(∠AFA1+∠BFB1)
=180°
-(180°
-∠A1AF)-(180°
-∠B1BF)
=(∠A1AF+∠B1BF)=90°
.
法2:
设弦AB的方程是:
得,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2=-p2
又,
∴从而知∠A1FB1=90°
提炼方法:
1.平面几何法与定义法结合,简捷高效;
2.弦AB的方程是:
(本题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用.
【例3】如下图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.
设曲线段C的方程为y2=2px(p>
0)(xA≤x≤xB,y>
0),其中xA、xB为A、B的横坐标,p=|MN|,
所以M(-,0)、N(,0).
由|AM|=,|AN|=3,得
(xA+)2+2pxA=17,①
(xA-)2+2pxA=9.②
①②联立解得xA=,代入①式,并由p>
0,
p=4,p=2,
xA=1xA=2.
因为△AMN为锐角三角形,所以>
xA.
P=2,P=4,
xA=2.xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.
综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>
0).
1.熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;
2.合理选择坐标系,确定标准方程;
3.运用距离公式求出标准方程中的待定系数;
4.特别注意范围的限定.
【例4】
(2005全国卷Ⅲ)设两点在抛物线上,l是AB的垂直平分线.
(Ⅰ)当且仅当取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?
证明你的结论;
(Ⅱ)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.
解:
(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线,不同时为0,
∴上述条件等价于
∵,∴上述条件等价于
即当且仅当时,l经过抛物线的焦点F.
另解:
(Ⅰ)∵抛物线,即,
∴焦点为
(1)直线的斜率不存在时,显然有
(2)直线的斜率存在时,设为k,截距为b
即直线:
y=kx+b由已知得:
即的斜率存在时,不可能经过焦点
所以当且仅当=0时,直线经过抛物线的焦点F
(II)(理)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为;
过点A、B的直线方程可写为,所以满足方程得;
A,B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
即
设AB的中点N的坐标为,则
由
即得l在y轴上截距的取值范围为().
法二:
y1=2x12,y2=2x22,相减得
中点在抛物线内必
【研讨.欣赏】
(2005山东文)
已知动圆过定点,且与直线相切,其中.
(I)求动圆圆心的轨迹的方程;
(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
(I)如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:
即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为
(II)如图,设,由题意得。
又直线的倾斜角满足,故。
∴直线的斜率存在,否则,的倾斜角。
从而设直线的方程为,显然,将与
联立消去,得由韦达定理知①
由,得
。
将①式代入上式整理化简,得:
此时直线的方程可表示为:
,即。
∴直线恒过定点
五.提炼总结以为师
1.求抛物线方程的方法:
待定系数法,定义法,直接法;
2.涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求”的策略,避免求交点坐标的复杂运算.
3.解决焦点弦问题时,应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用,注意抛物线上的点,焦点,,准线三者之间的联系.
同步练习8.3抛物线方程及性质
【选择题】
1.(2005全国)抛物线上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为()
A.2B.3C.4D.5
2已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是()
ABCD
3.一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为()
ABCD
4.设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为()
AB
CD不确定
【填空题】
5.抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是________
6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)
简答提示:
1-4:
DCCC;
2.把转化为M到准线的距离,然后求的最小值
3.设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y),列出转化为二次函数问题。
4.向量解法:
由A、F、B共线得(重要结论),进而得出
5.可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短,答案
6.由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件.答案:
②⑤
【解答题】
7.(2005春北京文)
如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
(1)求x1x2与y1y2的值;
(2)求证:
OM⊥ON.
(Ⅰ)解:
直线l的方程为
①
代入y2=2x消去y可得
②
点M,N的横坐标x1与x2是②的两个根,
由韦达定理得
(Ⅱ)证明:
设OM,ON的斜率分别为k1,k2,
8.(本小题满分14分)(2005年高考·
广东卷17)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?
若存在,请求出最小值;
若不存在,请说明理由.
(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…
(1)
∵OA⊥OB,即, ……
(2)
又点A,B在抛物线上,有,代入
(2)化简得
∴,
所以重心为G的轨迹方程为.
(II)
由(I)得
当且仅当即时,.
所以△AOB的面积存在最小值,且最小值为1.
9.(本小题满分14分)(2005年春考·
北京卷·
理18)
如图,O为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线于、两点.
(1)写出直线的截距式方程;
(2)证明:
;
(3)当时,求的大小.
直线l的截距式方程为①
由①及y2=2px消去x可得
点M,N的纵坐标y1,y2为②的两个根,故
(Ⅲ)解:
设OM,ON的斜率分别为k1,k2,
10.(2000春全国)已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.
分析:
点M随着A、B两点的变化而变化,点M是OM与AB的交点,而A、B为抛物线上的动点,点M与A、B的直接关系不明显,因此需引入参数.
解法一:
设M(x0,y0),则kOM=,kAB=-,
直线AB方程是y=-(x-x0)+y0.
由y2=4px可得x=,代入上式整理得
x0y2-(4py0)y-4py02-4px02=0.①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标,
∴A(,y1)、B(,y2).
∵OA⊥OB,∴kOA·
kOB=-1.
∴·
=-1.∴y1y2=-16p2.
根据根与系数的关系,由①可得
y1·
y2=,
∴=16p2.
化简,得x02+y02-4px0=0,
即x2+y2-4px=0(除去原点)为所求.
∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
解法二:
设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b,
由OM⊥AB得k=-.
由y2=4px及y=kx+b消去y,得
k2x2+x(2kb-4
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