K12教育学习资料高考数学一轮复习 专题44 三角函数图象与性质讲文档格式.docx

K12教育学习资料高考数学一轮复习 专题44 三角函数图象与性质讲文档格式.docx

《K12教育学习资料高考数学一轮复习 专题44 三角函数图象与性质讲文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《K12教育学习资料高考数学一轮复习 专题44 三角函数图象与性质讲文档格式.docx（37页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

既无最大值，也无最小值

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在

上是增函数；

上是减函数．

上是增函数．

对称性

对称中心

对称轴

，既是中心对称又是轴对称图形.

无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.

（2）（五点法），先列表，令

，求出对应的

五个

的值和五个

值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到

在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数

的图像.

2．三角函数的定义域与值域

（1）定义域：

的定义域为

.

（2）值域：

的值域为

（3）最值：

：

3.三角函数的单调性

（1）三角函数的单调区间：

的递增区间是

，

递减区间是

（2）复合函数的单调性

设

都是单调函数，则

上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表

增

减

4.三角函数的对称性

（1）对称轴与对称中心：

的对称轴为

，对称中心为

对称中心为

（2）对于

和

来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

的图象有无穷多条对称轴，可由方程

解出；

它还有无穷多个对称中心，它们是图象与

轴的交点，可由

，解得

，即其对称中心为

（3）相邻两对称轴间的距离为

，相邻两对称中心间的距离也为

函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．

5.三角函数的奇偶性

（1）函数的奇偶性的定义；

对定义域内任意

，如果有

=

，则函数是偶函数，如果有

=-

，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数

（2）奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；

（2）偶函数的图象关于

轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

（3）

为偶函数

（4）若奇函数

的定义域包含

，则

（5）

为奇函数，

为偶函数，

为奇函数.

6.三角函数的周期性

（1）周期函数的定义

一般地，对于函数

，如果存在一个非零常数

，使得定义域内的每一个

值，都有

，那么函数

就叫做周期函数，非零常数

叫做这个函数的周期．

（2）最小正周期：

对于一个周期函数

，如果它所有的周期中存在

一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做

的最小正周期．

周期为

【重点难点突破】

考点1正弦、余弦、正切函数的图象与性质

【1-1】【2018年全国卷Ⅲ理】函数

的零点个数为________．

【答案】

【解析】分析：

求出

的范围，再由函数值为零，得到

的取值可得零点个数.

详解：

，由题可知

，或

或

，故有3个零点.

【1-2】【2017课标3，理6】设函数f（x）=cos（x+

），则下列结论错误的是

A．f（x）的一个周期为−2πB．y=f（x）的图像关于直线x=

对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（

π）单调递减

【答案】D

【解析】

【领悟技法】

用“五点法”作图应抓住四条：

①将原函数化为

或

的形式；

②求出周期

③求出振幅

④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．

【触类旁通】

【变式一】【2018届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的图象如图，则φ=（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.

因为

，所以

因为|φ|＜

因此

选B.

【变式二】【江西省赣州市2018年5月高考适应性考试】若函数

在区间

上有两个零点

（）

【答案】C

考点2三角函数的定义域与值域

【2-1】函数

的定义域是________．

（1）由题意得

，即

，分别由三角函数线得

【2-2】【2018年北京卷文】已知函数

（Ⅰ）求

的最小正周期；

（Ⅱ）若

上的最大值为

，求

的最小值.

（Ⅰ）

.（Ⅱ）

（1）将

化简整理成

的形式，利用公式

可求最小正周期；

（2）根据

，可求

的范围，结合函数图像的性质，可得参数

的取值范围.

所以

的最小正周期为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

要使得

上的最大值为1.

的最小值为

1．三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

2．三角函数值域的不同求法

（1）利用sinx和cosx的值域直接求；

（2）把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）的形式求值域；

（3）把sinx或

cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；

（4）利用sinx±

cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．

【变式一】函数

的定义域是（）

C.

【解析】由

⩾0得

∴

，k∈Z.

故选D.

【变式二】【2017新课标2】函数

（

）的最大值是__________．

【答案】1

【解析】化简三角函数的解析式，则

，由

可得

，当

时，函数

取得最大值1．

考点3三角函数的单调性

【3-1】【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数

），满足

，且对任意

，都有

．当

取最小值时，函数

的单调递减区间为（）

ZB.

Z

ZD.

【答案】A

由

，可得

关于

对称，对任意

取得最小值，即可求解

解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数

的单调递减区间.

那么

，函数

取得最小值，

即函数

令

得

所以，函数

的单调递减区间为：

故选A.

点睛：

的函数的单调区间的求法：

（1）代换法：

①若

把

看作是一个整体，由

求得函数的减区间，

求得增区间；

②若

则利用诱导公式先将

的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；

（2）图象法：

画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

【3-2】已知函数

，则该函数的单调增区间为（）

【解析】由于函数

，∴

，令

，求得

，可得函数的增区间为

，故选B.

1.求形如

（其中A≠0，

）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：

①把“

（

）”视为一个“整体”；

②A>

0（A<

0）时，所列不等式的方向与

），

）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．

2.如何确定函数

时函数的单调性

对于函数

求其单调区间，要特别注意

的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为

的形式，然后求其单调递增区间，应把

放在正弦函数的递减区间之内；

若求其递减区间，应把

放在正弦函数的递增区间之内.

3.求函数

（或

）的单调区间的步骤：

化为正．

（2）将

看成一个整体，由三角函数的单调性求解．

4．特别提醒：

解答三角函数的问题时，不要漏了“

”.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若

的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身

的定义域．

的部分图像如图所示，则

【解析】试题分析：

由五点作图知

，解得：

，故单调递减区间为

，故选D．

【变式二】【2018届河南省南阳市第一中学第十五次考试】已知函数

，若

上具有单调性，那么

的取值共有（

）

A.6个B.7个C.8个D.9个

考点4三角函数的对称性

【4-1】【2018年江苏卷】已知函数

的图象关于直线

对称，则

的值是________．

由对称轴得

，再根据限制范围求结果.

由题意可得

，因为

【4-2】若函数

）的图象关于点

__________．

【解析】根据题意可得

又

，故

.

先化成

的形式再求解．其图象的对称轴是直线

，凡是该图象与直线

的交点都是该图象的对称中心,关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想

即可求三角函数的对称轴与对称中心．

【变式一】下列坐标所表示的点不是函数

的图象的对称中心的是（）

A．

B．

C．

D．

的对称中心为

的对称中心可以表示为

，经检验C选项不满足条件，故选C．

【变式二】【2018届新疆乌鲁木齐地区5月训练】函数

图像的一条对称轴为（）