版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程教学案理北师大版Word格式.docx
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斜率k与直线在y轴上的截距b
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1,y1),(x2,y2)
=
(x1≠x2,y1≠y2)
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b
+=1
(a≠0,b≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1.直线倾斜角和斜率的关系
不是倾斜角越大,斜率k就越大,因为k=tanα,当α∈时,α越大,斜率k就越大,同样α∈时也是如此,但当α∈[0,π)且α≠时就不是了.
2.五种特殊位置的直线方程
(1)x轴:
y=0.
(2)y轴:
x=0.
(3)平行于x轴的直线:
y=b(b≠0).
(4)平行于y轴的直线:
x=a(a≠0).
(5)过原点且斜率存在的直线:
y=kx.
二、教材衍化
1.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
解析:
由题意得=1,解得m=1.
答案:
1
2.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=________.
令x=0,得y=;
令y=0,得x=-,则有-=2,所以k=-24.
-24
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
二、易错纠偏
(1)由直线方程求斜率的思路不清;
(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响;
(3)忽视直线斜率不存在的情况;
(4)忽视截距为0的情况.
1.直线l:
xsin30°
+ycos150°
+a=0的斜率为________.
设直线l的斜率为k,则k=-=.
2.如果A·
C<
0且B·
0,那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.
由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->
0,在y轴上的截距->
0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
三
3.过直线l:
y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为________.
①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;
②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;
③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,得x=2-,依题意有×
×
2=2,即=1,解得k=,所以直线m的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.
x-2y+2=0或x=2
4.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.
当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;
当截距不为0时,设直线方程为+=1,
则+=1,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.
3x-2y=0或x+y-5=0
[学生用书P150]
直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
(1)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.∪
C.D.∪
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
【解析】
(1)设直线的倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1,1],所以-1≤tanθ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π,故选B.
(2)如图,因为kAP==1,
kBP==-,所以直线l的斜率k∈∪.
【答案】
(1)B
(2)∪
【迁移探究1】 (变条件)若将本例
(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
解:
因为P(-1,0),A(2,1),B(0,),所以kAP==,kBP==.
如图可知,直线l斜率的取值范围为.
【迁移探究2】 (变条件)若将本例
(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的范围.
如图,直线PA的倾斜角为45°
,直线PB的倾斜角为135°
,由图象知l的倾斜角的范围为[0°
,45°
]∪[135°
,180°
).
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k=tanα的取值范围;
②利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
(2)斜率的求法
①定义法:
若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率;
②公式法:
若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
[提醒] 直线倾斜角的范围是,而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分,与三种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当倾斜角α∈时,斜率k∈;
当α=时,斜率不存在;
当α∈时,斜率k∈.
1.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
因为kAC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
4
2.已知点(-1,2)和在直线l:
ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l倾斜角的取值范围是________.
点(-1,2)和在直线l:
ax-y+1=0同侧的充要条件是(-a-2+1)>
0,解得-<
a<
-1,即直线l的斜率的范围是(-,-1),故其倾斜角的取值范围是.
求直线的方程(师生共研)
根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
(3)直线过点(5,10),且与原点的距离为5.
【解】
(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sinα=(0≤α<π),
从而cosα=±
,则k=tanα=±
.
故所求直线方程为y=±
(x+4),
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为+=1,
又直线过点(-3,4),
从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0满足题意;
当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.
由点线距离公式,得=5,解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
求直线方程的注意事项
(1)在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;
若采用截距式,应先判断截距是否为零).
(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.
求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;
(2)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
(1)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=-,
所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
(2)由题意可知,所求直线的斜率为±
1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±
(x-3).
所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
直线方程的综合问题(典例迁移)
(一题多解)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
【解】 法一:
设直线l的方程为+=1(a>
0,b>
0),将点P(3,2)代入得+=1≥2,得ab≥24,从而S△AOB=ab≥12,当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.
所以△ABO的面积的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.
法二:
依题意知,直线l的斜率k存在且k<
0,
可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<
0),
则A,B(0,2-3k),
S△ABO=(2-3k)
≥
=×
(12+12)=12,
当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
【迁移探究1】 (变问法)若本例条件不变,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.
法一:
由原例题法一知+=1.
因为|OA|+|OB|=a+b,
所以(a+b)=5++≥5+2.
当且仅当a=b,且+=1,
即a=3+,b=2+时,
|OA|+|OB|的最小值为5+2.
此时,直线l的方程为+=1,
即x+3y-6-3=0.
由原例题解法二知
|OA|+|OB|=3-+2-3k(k<
0)
=5++(-3k)
≥5+2=5+2.
当且仅当-=-3k,即k=-时,
|OA|+|OB|取最小值5+2.
此时直线l的方程为y-2=-(x-3),
【迁移探究2】 (变问法)若本例条件不变.求·
的最大值及此时直线l的方程.
由原例题法二知A(3-,0),B(0,2-3k),·
=(-,-2)·
(-3,-3k)=+6k=-[(-)+(-6k)]≤-2=-12,
当且仅当-=-6k时,即k=-1时等号成立,此时直线l的方程为x+y-5=0.所以·
的最大值为-12,所求直线l的方程为x+y-5=0.
(1)给定条件求直线方程的思路
①考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况;
②在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程;
③重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的
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