立体几何中的截面问题Word格式文档下载.docx
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例仁如图,正方体ABCD-A.BGU中、EFG分别在AB.BC.DR上,求作过E.F.G三点的載面.作法:
(1)在底面46•内,过£
、尸作直线刃-分别与必、兀的延长线交于厶6
対和勿1±
,试画出过只0、斤三点的截面
作法:
⑴连接”、倚并延长,分别交阪CD的延长线于EF・疔交MT•
⑶连接胳、TP.则多边形PgT即为所求截面-
例3:
己知AQ斤分别是四棱柱ABCl>
-AiBiCiDi的棱Gh%和M上的点,且0?
与〃不平行:
求作过这三点的截面。
(1)连接"
并延长交场延长线于点人
(2)在平面宓9内连接刃交初于点
⑶连接莎剖久则四边形/W即为所求•
例4:
如图’五棱锥P■肋宓中,三条侧棱上各有一己知点F、G、H,k求作过只〃的截面.
(1)将侧面加、职;
磁伸展得到三棱锥?
-AS7.
⑵在侧面丹S内,连结并延长处,交PSTK
(3)在侧面丹7-内,连结并延长讯交刃于厶
(4)在侧面内,连结应分别交刃、PE干M、N・
(5)连结亦侧则五边形尸6诙即为所求的截面类型2:
截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上•其余点在棱上
6
例免如图,正方体ABCD-ABCD中,E、尸在两条棱上,
G在底面力Iq内,求过从AG的截面-
P
(1)过从尸作辅助面,在面廊i内,这F餐用7朋f交坷q于点尸1,则面如为所作的辅助面.
在面如ECD内,连接丹交勺坷于"
-并延长交巧勺于‘‘
连结匹并延长与场延长线交于Q连接QF交AD于H.连结购FN・则五边形翻W为所求的截面-
例6:
己知直四棱柱加尸在面DM内,0在面坷磁1内,R在梭BB1上,
D1
画出过只Q、斤三点的載面。
(1)过尸作彤丄切于点P,过0作00r于6⑵在底面曲⑦内连接〃、甸并交于乩
(3)由平行线00、肪作平面连接QR・
⑷在平面QQBR内过H作KH1MABCD交QR于K。
类型3:
載面经过的三个己知点中,有两个点在同一棱上、第三点在多面体内例7:
试作出过
正三棱柱ABC-AiBiG的底边血及两底中心连线力,中点的截面。
⑴过力*和加】作平面AooJv交BC于D,交B\C\于Dy则〃、Z%分别为8G坷勺的中
在面血迦内,连接妁,并延长交勿I于S。
例8:
在侧棱和高的夹角为a的正四棱锥中,求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(a<
45).
⑴在平面以6•中,作朋丄SC于点E・
⑵在底面宓9内过'
作a//BD・
延长阪少分别交&
于点弘N・
连接弘EN,分别交莎弘于点G、H。
连接SG、侧则多边形川蜩即为所求。
类型4:
截面经过的三个己知点两两不在同一面内的棱上-例9/A0、彳三点分别在直四棱柱/C的棱CCvAd);
和^5七试画出过AQ、R三点的截面
得到截线宓-连接得到所求截linPOKHR
⑴先过斤、P两点作辅助平面。
过点*作RW/BBi交仇B15^盾则面瞬心为所
作的辅助平面。
再连接XP交BC于点J
(5)连接也PS.QN.则多边形为所求。
例Uh已知四棱锥V-ABCD.PQR分别在棱丄JJBIQ上.作过P.0.R的啟面
解:
连接啟并延长交2D的延长线瀏•同样-求出PQV面ZIBCD的交点M?
-连接若/ViM不与底%宓9的内部相交,而是交丁-它的延展面上•则可延长De交/ViMP
愿连接M3R得到截线刃;
连接©
则得到所求SJcrftiPpTT?
J/11:
如图・EF分另iJ.^yh-G在V面DC内.作过Ej&
G的%%%iq
与H・遙按口\&
平直ABCD内作GK//EH交CG7X;
连接肪
任平面Mr内作E?
/处交JiZ)i加•连接RG•
则所求截面为八边形EHFKGA
M图这就回到基本题空,主要是构建辅助平面使所给的三点f而E.G两点分别在这个直四棱柱共面的两条棱L
【注】如果G在屮血\牛G内时.%A%Ci内作077^辅助\
刃彷分割出直四棱柱gPB-DDQC,又回到本題型-任求得A/.N
两点后,易得她ERFKH
若E在棱•厶h匕77・G分別在不经过棱丄古的两个而(共棱的两个面或相对的两个面)内-
则作截面的步骤•仍是先作一个适当的辅助平面,归结为基本题型
则作截面的步骤•仍是先作一个适当的辅助-归结为宰本題
若£
住棱JJih>
F・G分别在不经过棱丘%的两个面(共棱的两个面或相对的两个面)内.
左图中的辅助VIhl为物-相应的直棱柱为AiQBlPB右图中的辅助平面为40RJ•相应的直棱柱为AQQB-ARCB
例13:
E在平%iJi5内.F/ETifriBiC内.G任平IftIBiDi内•求过ERG的截面
EFG〔点分别任止方体的•:
个面内•三个面分共顶点的和不共顶点两种情况
求过朋7三点的正方体的碱血
刑/伽琏接疋F•则所求战面为四边形FZITN
【总结】:
①若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线。
2若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点•
3若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点。
4若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个己知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线。
5若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题;
若己知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决。
二、截面的面积问题
例16:
圆锥的母线长为/,轴截面为的顶角/求过此惻锥的母线的截面而积解:
设CD是过関锥母线的异F轴截而的任总截而,其顶角ZCVD=a,轴截面加的而积S=丄/2SinO,截面位的面积S'
=/Silla在△匕LB和中'
QUS所以a<
e
此时过圆锥母线的截面面积最大为轴哉面面积STTw
⑴当Ov03壬时QVaVOS吕,SinaVSin&
nS*vS,
*F
⑵当八<
0<
兀时・0VaV&
v;
r,此时sinO<
l,Sina可以取到最人值1此时过圆锥母线的SViftiifti积最大值为S=;
卩
综卜•所述•过閲锥母线的截而而积的最人值与轴截而顶角&
的范圉有矢Jr1
%Ov6>
0时.轴Ifrilfti积最最大值为S=/sin(9
22
cQ"
时,过関锥母线的4S%ilfti积最人值为S=I*
例17:
设圆台髙为下底面圆的半径为R-轴强面等腰梯形的底角为&
求过此圆台的母线的Iffiffiirfii积的最大值解:
如图,延长母线ZUi与BBI相交T点卩.JP=RtanO,VOi=R\m0-h.
OiBi=<
7?
tail0-h),cox0-R-hCOt0设过圆台的母线的任一截%i位CDDG碍于轴截佃),ZevD二姑则aglO
RhR
VD=CC=DD•二「9VCx=VD^-=-
COS0Sille
轴截的面积为
S二*'
tail久Mjcote丿&
ail夕J/尸IRh-IrCOtO
截面CDDG的面积为S:
=SaIQ-SAfrIA
Z2R11
17?
X2
(2)半兰S&
V兰日寸・OVaVJT-20S兰,Sill刀vSin(八-2夕丿=Sin2夕
4——
故SYsii】2&
()=2Rh-IrCOt&
=S,即恥
Sin202siir3
综上,过岡台母线所有截面中,英而枳的最人值与轴截面等腰梯形的底角&
有矢当OvOv兰时,戏面面积的最人值为二2—胃厂
sin2&
2SinP
4
%二八<・时,轴截面面积鍛大,最大值是IRh-IrQO\0
42
例18:
三棱锥力-砲中,MEFGH与对棱MC血都,行,且与川5・BC.CD.DA交干E、FGH
・则E・F・G・Hti・何处时,裁面EFGHrfii积最大
仏;
由AC//飞讪EFGH,別C的Mi宓交TtfiiEFGH\EF,EF//AC同理HG〃AC,所以EF//HG.同理可证EH“FG,故EFGH是平行四边形
记ZFEH=O、由EF//AC,W/BD可知异血直线与BD所成角为0或;
T一&
4FRF
由于三棱锥A-滋9是给定的•则&
是定(ft・£
—=.v.vv,则X4-V=I
ABAB
EFBE
=x^ef=vaC
ACAB
EH〃BDMAEHs,BDn里二兰KnEH=XAB,故
BDAB
SEFGH=EF.EH.sin0=(AB.AC.sind)<
(ABAC,sin
EF〃ACn\BEFS'
BACa一二
二丄AB.AC.Shi0
当且仅当心y,即F是-购的中点时取等号-
此时册也分别是BC.CD.DA的中点
即近E・F・G・〃分别为中点时・AEFGH[tfi积最大
且最人而枳为^AB.Aasine(AC峙BD所成他为8或
A
H
E
A)2
2
I江一0
例D如图•正耐本加3中,P是线段加的三等分点,P
0是线段肋上靠近刀的三等分点*是线段6P的中点,作截面妙•交线段BCYS>试确定S的具体位斤
£
解:
设AB二b・AC=AAD=J•则Pp=%+Ap=-%+4v/
■—I■-•三三三人三HHm
QRAQDADRAQDA・(AC・AD)A・(IA・'
_r一
丫一
1R
由截面妙交线段BCT-S,则PS,pQ・0?
共面,
『足存任唯一的实数2使得PS-XPQrlQR■
ABS=宓.则PS二PB+BS二Ab+x(c-b)=(^-x)b+xc
33
所以S是线段BC上的任近点C的五等分点.
J84一4—
“严严〒干鳧殆=严
V=-//
【引理】:
若梯形的上下底边长分别是eb,它的平行于底的戏线与上下底的距离之比为也,
)1
所以—
CH
且截线长为/,则/二m-hM
m+n
证明:
在梯形ABCD
AD//BC〉若AD=a.BC=b-EF//BC宜
分别交摄3于仔FN丄BN交Q的延长线于M,且爵过尸作GH//弘分别交BC及初的延长线FHGEF=BH=AG•社h.DGFSMFH
A俨I-aInIInb-na
=-n=
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- 立体几何 中的 截面 问题