导数及应用专题复习资料.doc
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得数学者得天下
导数及应用专题复习
知识梳理
1.导函数:
函数在定义内每一个点处的导数是关于的一个函数,这个函数称为的导函数,即有:
。
2.切线的几何意义:
设函数在点处可导,那么它在处的导数等于函数所表示的曲线在相应点处的。
3.函数的单调性:
设函数在某个区间内有导数,如果在这个区间内有,那么在这个区间内为函数;如果在这个区间内有,那么在这个区间内为函数。
4.函数的极值:
设函数在点及其附近有定义,则
⑴如果的值比附近所有点的函数值都大,我们就说是函数的一个;
⑵如果的值比附近所有点的函数值都小,我们就说是函数的一个;
5.求函数极值的一般步骤是:
①求;
②求方程的根;
③检查在方程的根的左右的单调性,如果在根处左增右减,则函数在处取;如果在根处左减右增,则函数在处取。
6.函数的最值:
设是定义在上的函数,在内有导数,求导数在上的最大值与最小值,可分为两步进行:
⑴求在内的极值;
⑵将的各极值与,比较,其中最大的一个为,最小的一个为。
7.函数图象与其导函数图象的关系:
⑴若导函数在内图象位于轴上方,即,则函数在内;若导函数在内图象位于轴下方,即,则函数在内。
⑵若导函数在内单增,则函数在内;若导函数在内单减,则函数在内;即:
增减。
求导公式
①(c为常数)②③④
⑤⑥⑦⑧
⑨⑩
求导法则
①(c为常数)②
③④
典型题型探究
一、导数的几何意义的应用
例1:
求曲线在点处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积。
二、利用导数研究函数的图象
例2:
右图是的导函数的图象,则函数的图象只可能是()
(A)(B)(C)(D)
例3:
函数的大致图象为()
x
y
o
4
-4
2
4
-4
2
-2
-2
x
y
o
4
-4
2
4
-4
2
-2
-2
x
y
y
4
o
-4
2
4
-4
2
-2
-2
6
6
6
6
y
x
-4
-2
o
4
2
2
4
ABCD
三、导数与函数单调性
例4:
已知函数。
⑴求函数的单调区间;
⑵若在处取得极值,试讨论方程的根的情况。
四、导数与函数的极值
例5:
已知、为实数,,。
⑴若为定值,求在上的极值;
⑵若在上恒有,求的取值范围。
五、导数与函数的最值
例6:
已知函数,问是否存在实数、,使在上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出、的值;若不存在,请说明理由。
六、应用导数解决实际应用问题
例7:
在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?
最大容积是多少?
自我检测:
一、选择题
1.已知函数,且,则的值为()
A.1 B.C.-1 D.0
2.已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为()
A.=(x-1)3+3(x-1)B.=2(x-1)2C.=2(x-1)D.=x-1
3.一质点做直线运动,由始点起经过s后的距离为,则速度为零的时刻是()A.4s末B.8s末C.0s与8s末D.0s,4s,8s末
4.函数有()
A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值3D.极小值-2,极大值2
5.若函数在区间内是增函数,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题
6.若曲线在P点处的切线平行于直线,则P点的坐标为。
7.有一长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2。
三、解答题
8.已知曲线在x=1处的切线与平行.
⑴求的解析式;
⑵求由曲线与,,所围成的平面图形的面积.
9.已知函数在区间上的最小值为-37,求实数的值。
10.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:
达到100人的团体,每人收费1000元.如果团体的人数超过100人,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180人,如何组团可使旅行社的收费最多?
(不到100人不组团)
第2页共2页用思考历练自己用智慧塑造人生
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