高中数学 第三章 导数及其应用章末检测 新人教A版选修11Word格式.docx

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0，那么y＝f（x）为这个区间内的减函数．”导致错误的原因是没有准确理解上述这段话的逻辑关系，事实上这是一个充分非必要条件．例如，函数f（x）＝x3在（－∞，＋∞）是单调递增的，然而却有f′（x）＝0.

3．函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数（C）

A.B.

C.D.

求导得，y′＝（xcosx）′－（sinx）′＝xcosx，于是，当x∈时，y′＞0.

4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是（B）

A．m>

0　　B．m<

C．m>

1　　D．m<

1

求导得y′＝ex＋m，由于ex>

0，若y＝ex＋mx有极值则必须使y′图象有正有负，故m<

0.

5．函数f（x）＝x2＋x－lnx的零点的个数是（A）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

由f′（x）＝2x＋1－＝＝0，

得x＝或x＝－1＜0（舍去）．当0＜x＜时，

f′（x）＜0，f（x）递减；

当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增．则f＝＋ln2＞0为f（x）的最小值，所以无零点．

6.过曲线y＝（x>

0）上横坐标为1的点的切线方程为（B）

A．3x＋y－1＝0

B．3x＋y－5＝0

C．x－y＋1＝0

D．x－y－1＝0

∵y′＝＝，∴该切线的斜率k＝y′|x＝1＝－3.故所求的切线方程为

y－2＝－3（x－1），即3x＋y－5＝0，故选B.

7．f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）的图象如下图所示，则f（x）的图象只可能是（D）

如题图可知，f′（x）在前半段递增，后半段递减，这表明f（x）先递增幅度大，后递增幅度小.

8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为（A）

A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0

与直线x＋4y－8＝0垂直的直线l为4x－y＋m＝0，即y＝x4在某一点的导数为4，而y′＝4x3，所以y＝x4在（1，1）处导数为4，此点的切线为4x－y－3＝0.

9．点P在曲线y＝x3－x＋上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（B）

A.

B.∪

C.

D.∪

曲线切线的斜率等于曲线该点处的导数值

k＝tanα＝3x2－1≥－1，解得α∈∪.

10．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，且g（3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（D）

A．（－3，0）∪（3，＋∞）

B．（－3，0）∪（0，3）

C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

D．（－∞，－3）∪（0，3）

∵当x＜0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，

即[f（x）g（x）]′＞0，

∴当x＜0时，f（x）g（x）为增函数，又g（x）是偶函数且g（3）＝0，∴g（－3）＝0，

∴f（－3）g（－3）＝0故当x＜－3时，f（x）g（x）＜0；

由于f（x）g（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）g（x）为增函数，且f（3）g（3）＝0，故当0＜x＜3时，f（x）g（x）＜0.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________．

直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，将y＝x－1代入抛物线方程得ax2－x＋1＝0，

∴Δ＝1－4a＝0，则a＝.

答案：

点评：

本题亦可利用导数的几何意义求解，但解题过程较长．

12．已知函数f（x）＝ax3＋3x2－x＋1在区间（－∞，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．

依题意，f′（x）＝3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立，则∴a≤－3.

（－∞，－3]

13．化简：

f（x）＝f′sinx－cosx＝________．

f′（x）＝f′cosx＋sinx，

f′＝f′cos＋sin，

解得f′＝，于是f（x）＝sinx－cosx＝2sin.

2sin

14．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：

（1）函数y＝f（x）在区间（3，5）内单调递增；

（2）函数y＝f（x）在区间内单调递减；

（3）函数y＝f（x）在区间（－3，2）内单调递增；

（4）当x＝－时，函数y＝f（x）有极大值；

（5）当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值．

则上述判断中正确的序号是________________．

依据导数与单调性的关系可知（3）成立．

（3）

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（xx·

韶关二模）（12分）设函数f（x）＝ax3－（a＋b）x2＋bx＋c，其中a>

0，b、c∈R，若f′＝0，求f（x）的单调区间．

（1）由f′＝0，得a＝b.

故f（x）＝ax3－2ax2＋ax＋c.

由f′（x）＝a（3x2－4x＋1）＝0，得x1＝，x2＝1.

列表：

由表可得，函数f（x）的单调递增区间是及（1，＋∞），单调递减区间是.

16．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆的月租金为2000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为2800元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

（1）当每辆车的月租金定为2800元时，未租出的车辆为＝16，所以，这时租出的车为84辆．

（2）设未租出车的有x辆，租赁公司的月收益为y元，则每辆车的月租金为（2000＋50x）元，由题意得，y＝（2000＋50x）（100－x）－150（100－x）－50x，即y＝－50x2＋3100x＋185000，则y′＝－100x＋3100，由y′＝0，得x＝31.

因为函数只有一个极值点，所以x＝31为所求．

所以当每辆车车月租金定为3550元时，租赁公司月收益最大，为233050元．

17．（14分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线y＝－3x－2，试求函数的极大值与极小值的差．

f′（x）＝3x2＋2ax＋b.

因为f（x）在x＝2处有极值，

所以f′

（2）＝0，即12＋4a＋b＝0.①

因为f′

（1）＝－3，所以2a＋b＋3＝－3.②

由①②，得a＝－3，b＝0.

所以f（x）＝x3－3x2＋c.

令f′（x）＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2.

当x∈（－∞，0）∪（2，＋∞）时，f′（x）＞0；

当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，

所以f（0）是极大值，f

（2）是极小值，

所以f（0）－f

（2）＝4.

18．（14分）设函数f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax＋8，其中a∈R.

（1）若f（x）在x＝3处取得极值，求常数a的值．

（2）若f（x）在（－∞，0）上为增函数，求a的取值范围．

（1）f′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－a）（x－1）．

因为f（x）在x＝3处取得极值，

所以f′（3）＝6（3－a）（3－1）＝0，解得a＝3.

经检验知，当a＝3时，x＝3为f（x）的极值点．

（2）令f′（x）＝6（x－a）（x－1）＝0，解得x1＝a，x2＝1.当a＜1时，若x∈（－∞，a）∪（1，＋∞），则f′（x）＞0，

所以f（x）在（－∞，a）和（1，＋∞）上为增函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（－∞，0）上为增函数；

当a≥1时，若x∈（－∞，1）∪（a，＋∞），则f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，1）和（a，＋∞）上为增函数，所以f（x）在（－∞，0）上为增函数．

综上所述，当a∈[0，＋∞）时，f（x）在（－∞，0）上为增函数．

19．（14分）已知函数f（x）＝6lnx（x＞0）和g（x）＝ax2＋8x－b（a，b为常数）的图象在x＝3处有公共切线．

（1）求a的值；

（2）求函数F（x）＝f（x）－g（x）的极大值和极小值；

（3）若关于x的方程f（x）＝g（x）有且只有3个不同的实数解，求b的取值范围．

（1）因f′（x）＝，g′（x）＝2ax＋8，依题意，得

f′（3）＝g′（3），解得a＝－1.

（2）F（x）＝f（x）－g（x）＝6lnx＋x2－8x＋b.

则F′（x）＝＋2x－8＝0，得x＝1或x＝3.

∴当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；

当1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；

当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）单调递增．

∴F（x）的极大值为F

（1）＝b－7；

F（x）的极小值为F（3）＝b－15＋6ln3.

（3）根据题意，F（x）＝f（x）－g（x）＝6lnx＋x2－8x＋b的图象应与x轴有三个公共点．即方程f（x）＝g（x）有且只有3个不同的实数解的充要条件为解得7＜b＜15－6ln3.

∴b的取值范围为（7，15－6ln3）

20．（14分）设函数f（x）＝－x3＋2ax2－3a2x＋b（常数a，b满足0<

a<

1，b∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间、极值；

（2）若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．

（1）f′（x）＝－x2＋4ax－3a2＝－（x－3a）·

（x－a），

令f′（x）＝0得x1＝a，x2＝3a，列表如下：

x

（－∞，a）

a

（a，3a）

3a

（3a，＋∞）

f′（x）

－

＋

f（x）

极小值

极大值

∴f（x）在（a，3a）上单调递增，在（－∞，a）和（3a，＋∞）上单调递减．

则当x＝a时，f（x）极小＝b－a3，

当x＝3a时，f（x）极大＝b.

（2）f′（x）＝－x2＋4ax－3a2，

∵0＜a＜1，

∴对称轴x＝2a＜a＋1，

∴f′（x）在[a＋1，a＋2]上单调递减．

∴f′max＝－（a＋1）2＋4a（a＋1）－3a2＝2a－1，

f′min＝－（a＋2）2＋4a（a＋2）－3a2＝4a－4.

依题设，|f′（x）|≤a⇔|f′max|≤a，|f′min|≤a，

即|2a－1|≤a，|4a－4|≤a.

解得，≤a≤1，又0＜a＜1，

∴a的取值范围是.

章末过关检测卷（三）

一、选择题（本大题共12小