高等数学讲义一元函数微分学Word文档下载推荐.docx
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其中为为无关,是时比高阶的无穷小,则称在处可微,并把中的主要线性部分称为在处的微分,记以或。
我们定义自变量的微分就是。
5.微分的几何意义
是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量,微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量(见图)。
6.可微与可导的关系
在处可微在处可导。
且
一般地,则
所以导数也称为微商,就是微分之商的含义。
7.高阶导数的概念
如果函数的导数在点处仍是可导的,则把在点处的导数称为在点处的二阶导数,记以,或,或等,也称在点处二阶可导。
如果的阶导数的导数存在,称为的阶导数,记以,,等,这时也称是阶可导。
二、导数与微分计算
1.导数与微分表(略)
2.导数与微分的运算法则
(1)四则运算求导和微分公式
(2)反函数求导公式
(3)复合函数求导和微分公式
(4)隐函数求导法则
(5)对数求导法
(6)用参数表示函数的求导公式
(乙)典型例题
一、用导数定义求导数
例设,其中在处连续,求
解:
二、分段函数在分段点处的可导性
例1设函数
试确定、的值,使在点处可导。
∵可导一定连续,∴在处也是连续的。
由
要使在点处连续,必须有或
又
要使在点处可导,必须,即.
故当时,在点处可导.
例2设,问和为何值时,可导,且求
∵时,,
时,
∴
由处连续性,,,可知
再由处可导性,
存在
根据洛必达法则
,∴
于是
三、运用各种运算法则求导数或微分
例1设可微,,求
例2设,求
对求导,得
再令,,对求导,
于是()
例3设由方程所确定,求
两边取对数,得,
对求导,
,
例4设
求
四、求切线方程和法线方程
例1已知两曲线与在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求。
由已知条件可知,
故所求切线方程为
例2已知曲线的极坐标方程,求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。
曲线的参数方程为
故切线方程
即
法线方程
例3设为周期是5的连续函数,在邻域内,恒有。
其中,在处可导,求曲线在点()处的切线方程。
由题设可知,,故切线方程为
所以关键是求出和
由连续性
由所给条件可知,∴
再由条件可知
令,又∵
∴上式左边=
=
则
所求切线方程为即
五、高阶导数
1.求二阶导数
例1设,求
例2设求
2.求阶导数(,正整数)
先求出,总结出规律性,然后写出,最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的阶导数公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式
其中,,
假设和都是阶可导
例1设(正整数),求(正整数)
例2设,求(正整数)
例3设,求(正整数)
……
例4设,求(正整数)
例5设,求(正整数)
用莱布尼兹公式
2.2微分中值定理
本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理:
罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)。
[注:
数学三不考泰勒定理,数学四不考泰勒定理]
这部分有关考题主要是证明题,其中技巧性比较高,因此典型例题比较多,讨论比较详细。
一、罗尔定理
设函数满足
(1)在闭区间[]上连续;
(2)在开区间()内可导;
(3)
则存在,使得
几何意义:
条件
(1)说明曲线在和之间是连续曲线;
[包括点A和点B]。
条件
(2)说明曲线在之间是光滑曲线,也即每一点都有不垂直于轴的切线[不包括点和点]。
条件(3)说明曲线在端点和处纵坐标相等。
结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点,它的切线平行于轴。
二、拉格朗日中值定理
(2)在开区间()内可导
或写成
有时也写成
这里相当或都可以,可正可负。
条件
(1)说明曲线在点和点之间[包括点和点]是连续曲线:
条件
(2)说明曲线[不包括点和点]是光滑曲线。
结论说明:
曲线在,之间[不包括点和点],至少有点,它的切线与割线是平行的。
推论1若在内可导,且,则在内为常数。
推论2若和在()内可导,且,则在内,其中为一个常数。
(注:
拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,当特殊情形,就是罗尔定理)
三、柯西中值定理
设函数和满足:
(1)在闭区间[,]上皆连续;
(2)在开区间(,)内皆可导;
且,则存在使得
柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理)
考虑曲线的参数方程
点,点曲线在上是连续曲线,除端点外是光滑曲线,那么在曲线上至少有一点,它的切线平行于割线.值得注意:
在数学理论上,拉格朗日中值定理最重要,有时也称为微分学基本定理。
罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理,柯西中值定理虽然更广,但用得不太多。
在考研数学命题中,用罗尔定理最多,其次是用拉格朗日中值定理,而用柯西中值定理也是较少。
四、泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)
定理1(带皮亚诺余项的阶泰勒公式)
设在处有阶导数,则有公式
其中称为皮亚诺余项。
()
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取适当的,所以对常用的初等函数如和(为实常数)等的阶泰勒公式都要熟记。
定理2(带拉格朗日余项的阶泰勒公式)
设在包含的区间内有阶导数,在上有阶连续导数,则对,有公式
其中,(在与之间)称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。
时,也称为麦克劳林公式。
如果,那么泰勒公式就转化为泰勒级数,这在后面无穷级数中再讨论。
一、用罗尔定理的有关方法
例1设在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且,.
试证:
必存在,使
证:
∵在[0,3]上连续,∴在[0,2]上连续,且有最大值和最小值.于是;
;
,故.由连续函数介值定理可知,至少存在一点使得,因此,且在[,3]上连续,(,3)内可导,由罗尔定理得出必存在使得。
例2设在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且
求证:
存在使
证:
由积分中值定理可知,存在,使得
得到
对在[0,c]上用罗尔定理,(三个条件都满足)
故存在,使
例3设在[0,1]上连续,(0,1)内可导,对任意,有,求证存在使
由积分中值定理可知存在使得
令,可知
这样,对在上用罗尔定理(三个条件都满足)存在,使
而
又,则
在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理,否则结论只是,而且条件也不满足。
因此如何构造一个函数,它与有关,而且满足区间上罗尔定理的三个条件,从就能得到结论成立,于是用罗尔定理的有关证明命题中,如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键,下面的模型Ⅰ,就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ:
设在上连续,()内可导,则下列各结论皆成立。
(1)存在使(为实常数)
(2)存在使(为非零常数)
(3)存在使(为连续函数)
(1)令,在上用罗尔定理
∵
∴存在使
消去因子,即证.
(2)令,在上用罗尔定理
存在使
消去因子,即证。
(3)令,其中
由
清去因子,即证。
例4设在上连续,在(0,1)内可导,,,试证:
(1)存在,使。
(2)对任意实数,存在,使得
证明:
(1)令,显然它在[0,1]上连续,又,根据介值定理,存在使即
(2)令,它在上满足罗尔定理的条件,故存在,使,即
从而
在例4
(2)的证明中,相当于模型Ⅰ中
(1)的情形,其中取为,取为)
模型Ⅱ:
设,在上皆连续,()内皆可导,且,,则存在,使
令,则,显然在[]上满足罗尔定理的条件,则存在,使,即证.
例5设在[0,1]上连续,(0,1)内可导,,为正整数。
求证:
存在使得
令,,则,,用模型Ⅱ,存在使得
故
则
例6设在内可导,且,求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点
反证法:
设,,而在内,则令在上用罗尔定理
[]
(不妨假设否则结论已经成立)
则存在使,得出与假设条件矛盾。
所以在内至少有一个零点
例7设在[]二阶可导,且,又
(1)在()内;
(2)存在,使
(1)用反证法,如果存在使,则对分别在[]和[]上用罗尔定理,存在使,存在使,再对在[]上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。
所以在内
(2)由结论可知即,因此
令,可以验证在[]上连续,在内可导,满足罗尔定理的三个条件
于是成立
二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理
例1设在内可导,且,
求的值
由条件易见,
由拉格朗日中值定理,有
其中介于与之间,那么
于是,,则
例2设是周期为1的连续函数,在(0,1)内可导,且,又设是在[1,2]上的最大值,证明:
存在,使得。
由周期性可知,不妨假定而,对分别在[1,]和[,2]上用拉格朗日中值定理,
存在,使得①
存在,使得②
如果,则用①式,得;
如果,则用②式,得;
因此,必有,使得
例3设在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且,,证明:
(Ⅰ)存在,使得
(Ⅱ)存在,,使
(Ⅰ)令,则在[0,1]上连续,且,,用介值定理推论存在,使,即
(Ⅱ)在[0,]和[,1]上对用拉格朗日中值定理,存在,使得
存在,,使
∴
例4设函数在闭区间[]上连续,在开区间()内可导,且,若极限存在,证明:
(1)在内;
(2)在内存在,使
(3)在内存在与
(2)中相异的点,使
(1)因为存在,故,由在[]上连续,从而.又知在内单调增加,故
(2)设,
则,故,满足柯西中值定理的条件,于是在内存在点,使
,
(3)因,在[]上应用拉格朗日中值定理,知在内存在一点,使,从而由
(2)的结论得
,
即有.
三、泰勒公式(数学一和数学二)
例1设在[-1,1]上具有三阶连续导数,且,,.
,使.
麦克劳林公式
其中,介于0与之间。
后式减前式,
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