高考数学总复习 第四十四讲 空间几何体的表面积与体积 新人教版Word格式文档下载.docx
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V2=1:
5,故选D.
答案:
D
2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()
如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.
在梯形ABFE中,易知BN=,
∴S△BCN=BC·
HN=×
1×
故该几何体体积为×
1+2×
选A.
A
3.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是()
该几何体为直三棱柱,其表面积为2×
×
12+×
1=3+,选C.
C
4.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°
E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()
由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
∴折叠后得到一个正四面体.
作PF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中点.
取EC中点G,连接DG、PG,
过球心O作OH⊥平面PEC.
则垂足H为△PEC的中心.
∵PG=
∴OP=
∴外接球体积为π×
OP3=×
π×
π.
5.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为()
A.1+且a+b>
h
B.1+且a+b<
C.1+且a+b>
D.1+且a+b<
设酒瓶下底面面积为S,则酒的体积为Sa,酒瓶的体积为Sa+Sb,故体积之比为1+显然有a<
a′,又a′+b=h,故a+b<
h.选B.
B
6.(原创题)设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是()
由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下大小相同,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,选项B符合题意.故选B.
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:
cm),可得这个几何体的体积是________cm3.
该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.
其体积为23+×
2=(8+π)cm3.
8+π
8.(精选考题·
烟台检测)已知三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,E是棱CC1上一点,三棱锥E—ABC的体积是V1,则三棱锥E—A1B1C1的体积是________.
如图,过E作AC、BC的平行线EF、EG,分别与AA1、BB1交于F、G,连接FG.
∵三棱锥E—ABC的体积是V1,∴三棱柱EFG—CAB的体积是3V1,
∴三棱柱EFG—C1A1B1的体积是V-3V1,
∵VE—A1B1C1=VEFG—C1A1B1,
∴VE—A1B1C1=(V-3V1)=-V1.
-V1
9.(精选考题·
广州模拟)如图为一几何体的展开图,其中ABCD是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q及点P,D,C,R共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使P,Q,R,S四点重合,则需要________个这样的几何体,可以拼成一个棱长为6的正方体.
由题意知,将该展开图沿虚线折叠起来以后,得到一个四棱锥P—ABCD(如图),其中PD⊥平面ABCD,因此该四棱锥的体积V=×
6×
6=72,而棱长为6的正方体的体积V=6×
6=216,故需要个这样的几何体,才能拼成一个棱长为6的正方体.
评析:
几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容,通过折叠与展开问题,可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时,关键是弄清楚折叠与展开前后,位置关系和数量关系变化的情况,画出准确的图形解决问题.
10.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V=________.
该几何体形状如图所示,是一个正方体与正四棱锥的组合体,正方体的体积是1,正四棱锥的体积是故该凸多面体的体积为.
三、解答题:
(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.
分析:
由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可.
解:
由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示.
可知AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为cm,
∴正三角形ABC的边长为|AB|==4(cm),
∴该三棱柱的表面积为S=3×
4×
4+2×
42sin60°
=(48+8)(cm2),体积为V=S底•|AA′|=×
4=16(cm3).
故这个三棱柱的表面积为(48+8)cm2,体积为16cm3.
(1)注意:
侧(左)视图中的数据cm为底面正三角形的高,不要误认为是正三角形的边长.
(2)通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体,并给出相关数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何有机结合,这也体现了新课标的思想,应是高考的新动向,希望引起大家注意.
12.如图,在三角形ABC中,若AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.
如图所示,所得旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为AB=5.底面半径等于CO=,所以所得旋转体的表面积S=π·
OC·
(AC+BC)=π·
·
(3+4)=π;
其体积V=·
π·
OC2·
AO+·
BO=·
AB=π.
求一些组合体的表面积和体积时,首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成,再通过轴截面分析和解决问题.
13.在右图所示的几何体中,平面PAC⊥平面ABC,PM∥BC,PA=PC,AC=1,BC=2PM=2,AB=若该几何体的侧视图(左视图)的面积为
(1)求证:
PA⊥BC;
(2)画出该几何体的正视图,并求其面积S;
(3)求出多面体A—BMPC的体积V.
(1)证明:
AC=1,BC=2,AB=,
∴AC2+BC2=AB2.
∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC,∴PA⊥BC.
(2)设几何体的正视图如图所示:
∵PA=PC,取AC的中点D,连接PD,则PD⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,
∴PD⊥平面ABC.
∴几何体侧视图的面积=AC·
PD
=×
PD=.
∴PD=.易知△PAC是边长为1的正三角形.
∴正视图的面积是上、下底边长分别为1和2,PD的长为高的直角梯形的面积.
∴S=
(3)取PC的中点N,连接AN,由△PAC是边长为1的正三角形,可知AN⊥PC,由
(1)知BC⊥平面PAC,
∴AN⊥BC,∴AN⊥平面PCBM.
∴AN是四棱锥A—PCBM的高,且AN=
由BC⊥平面PAC,可知BC⊥PC.
由PM∥BC,可知四边形PCBM是上、下底边长分别为1和2,PC的长1为高的直角梯形.
其面积S′=,∴V=S′·
AN=
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