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已知函数,.
(1)求,的单调区间;
(2)求,的最小值.
已知函数在区间内单调递减,则a的取值范围是
A.B.C.D.
已知函数在区间(,1)上为增函数,那么的取值范围是_________.
已知函数在上是单调函数,求实数的取值范围.
4.最值
已知函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
若函数的最大值为M,最小值为m,则M+m的值等于________.
已知函数在区间[0,2]上的最小值为3,求a的值.
5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性
已知函数是定义在R上的奇函数,当≥0时,.画出函数的图像,并求出函数的解析式.
若函数是偶函数,则在区间上是
A.增函数B.减函数C.常数D.可能是增函数,也可能是常数
若函数是偶函数,则点的坐标是________.
设为实数,函数,.
()讨论的奇偶性;
()求的最小值.
6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换
已知.
(1)画出函数的图象;
(2)求函数的单调区间;
(3)求函数的最大值和最小值.
指出函数的单调区间.
已知函数.
给下列命题:
①必是偶函数;
②当时,的图像必关于直线x=1对称;
③若,则在区间[a,+∞上是增函数;
④有最大值.
其中正确的序号是________.③
设函数给出下列4个命题:
①当c=0时,是奇函数;
②当b=0,c>
0时,方程只有一个实根;
③的图象关于点(0,c)对称;
④方程至多有两个实根.
上述命题中正确的序号为.
7.(北师大版第54页A组第6题)值域
求二次函数在下列定义域上的值域:
(1)定义域为;
(2)定义域为.
函数的值域是
A.B.C.D.
函数y=cos2x+sinx的值域是__________.
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数,且a≠0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<
n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果
存在,求出m、n的值,如果不存在,说明理由.
8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题
当具有什么关系时,二次函数的函数值恒大于零?
恒小于零?
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(I)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(II)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
已知函数,若时,有恒成立,求的取值范围.
若f(x)=x2+bx+c,不论α、β为何实数,恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.
(I)求证:
b+c=-1;
(II)求证:
c≥3;
(III)若函数f(sinα)的最大值为8,求b、c的值.
9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系
右图是二次函数的图像,它与x轴交于点和,试确定以及,的符号.
二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为
直线与抛物线
中至少有一条相交,则m的取值范围是.
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=ax2+bx+1(a>
0)有两个相异的不动点x1、x2.
()若x1<
1<
x2,且f(x)的图象关于直线x=m对称,求证m>
;
()若|x1|<
2且|x1-x2|=2,求b的取值范围.
10.(北师大版第52页例3)应用
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;
若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安:
销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?
在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图),求周长最长的内接矩形两边之比,其中a是正实数.
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图一;
B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图二(注:
利润和投资单位:
万元)
(I)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(II)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:
怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润?
其最大利润约为多少元(精确到1万元)?
设a为实数,记函数的最大值为g(a).
(Ⅰ)求g(a);
(Ⅱ)试求满足的所有实数a.
1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法
解:
由题意可知,解得,故选D.
由题意可知,解得b=0,∴,解得c=2.
解:
由题意可设所求二次函数的解析式为,
展开得,
∴,
∴,即,解得.
所以,该二次函数的图像是由的图像向上平移单位得到的,它的解析式是,即.
2.(北师大版第52页例2)图像特征
根据题意可知,∴,故选D.
∵,∴抛物线的对称轴是,
∴即,
∴,∴、、,
故有,选C.
观察函数图像可得:
1a>
0(开口方向);
②c=1(和y轴的交点);
③(和x轴的交点);
④();
⑤(判别式);
⑥(对称轴).
3.(人教A版第43页B组第1题)单调性
函数图像是开口向上的抛物线,其对称轴是,
由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧,
∴,解得,故选D.
函数在区间(,1)上为增函数,由于其图像(抛物线)开口向上,所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧,即应有,解得,
∴,即.
函数的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是,
∵已知函数在上是单调函数,∴区间应在直线的左侧或右侧,
即有或,解得或.
4.(人教A版第43页B组第1题)最值
作出函数的图像,
开口向上,对称轴上x=1,顶点是(1,2),和y轴的交点是(0,3),
∴m的取值范围是,故选C.
函数有意义,应有,解得,
∴⇒⇒,
∴M=6,m=0,故M+m=6.
函数的表达式可化为.
①当,即时,有最小值,依题意应有,解得,这个值与相矛盾.
②当,即时,是最小值,依题意应有,解得,又∵,∴为所求.
③当,即时,是最小值,
依题意应有,解得,又∵,∴为所求.
综上所述,或.
函数是偶函数⇒⇒,
当时,是常数;
当时,,在区间上是增函数,故选D.
根据题意可知应有且,即且,∴点的坐标是.
()当时,函数,此时,为偶函数;
当时,,,
,,此时既不是奇函数,也不是偶函数.
()()当时,,
若,则函数在上单调递减,从而函数在上的最小值为.
若,则函数在上的最小值为,且.
()当时,函数,
若,则函数在上的最小值为,且,
若,则函数在上单调递增,从而函数在上的最小值为.
综上,当时,函数的最小值为;
当时,函数的最小值为;
当时,函数的最小值为.
函数可转化为二次函数,作出函数图像,由图像可得单调区间.
当时,,
当时,.
作出函数图像,由图像可得单调区间.
在和上,函数是增函数;
在和上,函数是减函数.
若则,显然不是偶函数,所以①是不正确的;
若则,满足,但的图像不关于直线x=1对称,所以②是不正确的;
若,则,图像是开口向上的抛物线,其对称轴是,∴在区间[a,+∞上是增函数,即③是正确的;
显然函数没有最大值,所以④是不正确的.
,
(1)当c=0时,,满足,是奇函数,所以①是正确的;
(2)当b=0,c>
0时,,
方程即或,
显然方程无解;
方程的唯一解是,所以②是正确的;
(3)设是函数图像上的任一点,应有,
而该点关于(0,c)对称的点是,代入检验即,也即,所以也是函数图像上的点,所以③是正确的;
(4)若,则,显然方程有三个根,所以④是不正确的.
作出函数的图象,容易发现在上是增函数,在上是减函数,求出,,,注意到函数定义不包含,所以函数值域是.
∵y=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令t=sinx∈[-1,1],
则y=-2t2+t+1,其中t∈[-1,1],
∴y∈[-2,],即原函数的值域是[-2,].
(I)∵f(1+x)=f(1-x),
∴-=1,
又方程f(x)=x有等根⇔ax2+(b-1)x=0有等根,
∴△=(b-1)2=0⇒b=1⇒a=-,
∴f(x)=-x2+x.
(II)∵f(x)为开口向下的抛物线,对称轴为x=1,
1︒当m≥1时,f(x)在[m,n]上是减函数,
∴3m=f(x)min=f(n)=-n2+n(*),
3n=f(x)max=f(m)=-m2+m,
两式相减得:
3(m-n)=-(n2-m2)+(n-m),
∵1≤m<
n,上式除以m-n得:
m+n=8,
代入(*)化简得:
n2-8n+48=0无实数解.
2︒当n≤1时,f(x)在[m,n]上是增函数,
∴3m=f(x)min=f(m)=-m2+m,
3n=f(x)max=f(n)=-n2+n,
∴m=-4,n=0.
3︒当m≤1≤n时,对称轴x=1∈[m,n],
∴3n=f(x)max=f
(1)=⇒n=与n≥1矛盾.
综合上述知,存在m=-4、
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