市级联考湖南省常德市届高三上学期检测考试数学理试题解析版.docx
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市级联考湖南省常德市届高三上学期检测考试数学理试题解析版
2018-2019学年度上学期高三检测考试数学(理科试题卷)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合
,解不等式求得集合
,然后求两个集合的交集.
【详解】由
,解得
;由
,解得
,故
.故选A.
【点睛】本小题主要考查集合的交集运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.已知复数
是虚数单位
,则z的实部为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z,从而得到其实部.
【详解】∵
,∴z的实部为
.
故应选B.
【点睛】数的运算,难点是乘除法法则,设
,
则
,
.
3.如图是一个边长为5的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷500个点,其中落入黑色部分的有300个点,据此可估计黑色部分的面积为()
A.17B.16C.15D.14
【答案】C
【解析】
【分析】
利用面积比列方程,解方程求得黑色部分的面积.
【详解】设黑色部分的面积为
,则
,故选C.
【点睛】本小题主要考查面积测算的问题,考查方程的思想,属于基础题.
4.阅读如图
程序框图,运行相应的程序,若输入
,
,则输出
的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运行程序进行计算,当
时,退出程序,输出
的值.
【详解】运行程序,
,
,判断否,
,判断否,
,判断是,输出
,故选B.
【点睛】本小题主要考查计算程序框图输出结果,考查运算求解能力,属于基础题.
5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:
现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第
天所织布的尺数为
,则
的值为()
A.56B.52
C.28D.26
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意设出等差数列的公差
,然后利用前
项和列方程,解方程求得
的值,由此求得
的值.
【详解】等差数列的首项
,设公差为
,故
,解得
,故
.故选D.
【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算,考查中国古代数学文化,属于基础题.
6.已知函数
的图象向左平移
个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍得函数
的图象,则下列区间为
的单调递增区间的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由图像变换知识可得
,求出其单调增区间即可.
【详解】函数
,向左平移
个单位长度,
可得
再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数
的图象,
,
令2kπ
≤2kπ,k∈Z,
当k=0时,函数y=g(x)的一个单调递增区间为:
[
,
].
故选:
A.
【点睛】本题主要考查利用y=Asin(ωx+∅)的图象变换,考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.
7.已知
,
,
,则
的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断出小于零的数,然后判断出
到
之间的数,最后判断出大于
的数,由此得出
的大小关系.
【详解】由于
,
,
,故
,故选A.
【点睛】本小题主要考查对数比较大小,考查“
,
”分段法,属于基础题.
8.函数
的部分图象大致为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性,以及函数图像上的特殊点,对选项进行分析和排除,由此得出正确选项.
【详解】
,定义域为
,
,故函数为奇函数,图像关于原点对称,排除
两个选项.
,排除D选项,故选A.
【点睛】本小题主要考查函数图像的判断,考查函数的奇偶性,属于基础题.
9.如图,网格线上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,其正视图,侧视图均为等边三角形,则该几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图判断出几何体的结构,进而求得几何体的体积.
【详解】等边三角形的高为
,由三视图可知,该几何体的左边是一个三棱锥,右边是一个半个圆锥,由此可求得几何体的体积为
,故选C.
【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,考查锥体体积计算公式,考查运算求解能力,属于基础题.
10.已知双曲线
的右焦点为
,以
为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线
的某一条渐近线交于两点
,若
(其中
为原点),则双曲线
的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设双曲线的一条渐近线方程为y
x,H为PQ的中点,可得FH⊥PQ,由
,可知H为OQ的三等分点,用两种方式表示OH,即可得到双曲线
的离心率.
【详解】解:
设双曲线的一条渐近线方程为y
x,
H为PQ的中点,可得FH⊥PQ,
由F(c,0)到渐近线的距离为FH=d
b,
∴PH=
,又
∴OH=
即
,∴
故选:
D
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程,得到a,c的关系式是解得的关键,对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式
;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式),即可得e(e的取值范围).
11.已知
是
上的偶函数,
,当
时,
,则函数
的零点个数是()
A.12B.10C.6D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
函数
的零点个数即函数
与y=
的图象的交点个数,数形结合即可得到结果.
【详解】由
,可得
,
即
,故函数
的周期为
,
作出函数
与y=
的图象
由图可知:
当x>0时,有5个交点,
又函数
与y=
均为偶函数,
∴函数
的零点个数是10个.
故选:
B
【点睛】本题主要考查了周期函数与对数函数的图象,数形结合是高考中常用的方法,考查数形结合,本题属于中档题.
12.已知
的三个内角
所对的边为
,面积为
,且
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式可得
,结合正弦定理及三角恒等变换知识可得
,从而得到角A.
【详解】∵
∴
即
∴
∴
∴
,
∴
(舍)
∴
故选:
C
【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式,以及三角恒等变换,熟练掌握边角的转化是解本题的关键.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设向量
,
,且
,则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得
的值.
【详解】
,由于
,所以
,即
,解得
,故
.
【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算,考查向量垂直的坐标表示,考查方程的思想,属于基础题.
14.已知
,且
满足
,若
的最大值为_____.
【答案】8
【解析】
【分析】
画出可行域,向下平移
到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点
处取得最大值为
.
【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
15.已知
的展开式的各项系数和为243,则展开式中
的二项式系数为_______.
【答案】10
【解析】
【分析】
由
的展开式的各项系数和为243,可得n=5,借助二项式展开式的通项公式可得结果.
【详解】令x=1,可得3n=243,解得n=5.
∴
的
.
令
,则
∴展开式中
的二项式系数为
故答案为:
10.
【点睛】本题考查了二项式定理的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
16.已知抛物线
的焦点为
为坐标原点,点
为抛物线准线上相异的两点,且
两点的纵坐标之积为-4,直线
,
分别交抛物线于
,
两点,若A,B,F三点共线,则
_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
设
,
,分别求出A与B的坐标,结合A,B,F三点共线可得结果.
【详解】设
,
,
则直线
的方程为:
,代入抛物线方程可得:
,
解得:
,故A点坐标为:
同理可得:
B点坐标为:
又
,
∴
,
又A,B,F三点共线,
∴
∴
,由
∴
,即
又
∴
,
∴
故答案为:
2
【点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查转换能力与计算能力,是中档题.
三、解答题:
解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列
的各项均为正数,且
,
,数列
的前
项和为
.
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ)求数列
的前
项和
.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
【解析】
【分析】
(I)将已知条件转化为
,由此求得
的值,进而求得
的通项公式.(II)利用
求得
的表达式,由此求得
的表达式,利用分组求和法求
的值.
【详解】(Ⅰ)设等比数列
的公比
即
,
解得:
或
,
又
的各项为正,
,故
(Ⅱ)设
,数列
前n项和为
.
由
解得
.
.
【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算,考查数列通项公式的求法,考查分组求和法,所以中档题.
18.如图,在直三棱柱
中,
,
,
,
为线段
的中点,
为线段
上一动点(异于点
),
为线段
上一动点,且
.
(Ⅰ)求证:
平面
平面
;
(Ⅱ)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)要证平面
平面
,转证
平面
即证
(Ⅱ)建立如图空间直角坐标系
,求出平面
的法向量,代入公式可得结果.
【详解】(I)证明:
因为
,
为线段
的中点,
所以
,
在直三棱柱
中,易知
平面
,
,而
;
平面
,
;
又因为
,
;
所以
平面
,
又
平面
;所以平面
平面
;
(II)由(I)可建立如图空间直角坐标系
,
因为
所以
,
则
,
,
设
,
所以
,
因为
,
,
所以
,
,
解得:
(
异于点
),
设平面
的法向量为
,则
即
,可取
,
设直线
与平面
所成角为
,
则
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【点睛】本题考查了面面垂直的判定,空间向量的应用,线面角的计算,
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- 级联 湖南省 常德市 届高三 上学 检测 考试 学理 试题 解析