椭球面上的基本计算Word文件下载.docx
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参考椭球一一与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数
1•椭球的元素
长半径:
a
短半径:
b
2.椭球的参数
:
■=(a—b)/a
扁率:
第一偏心率:
e=.a2「b2/a
第二偏心率:
e>
a2-b2/b
式中:
..a2-b2――椭圆的焦距,即椭圆的焦点到椭圆中心的距离
3.关系式
a=b1-e?
b=a、;
1—e?
r*Q'
Q
e=ep(1—e)e"
=e/(1—e"
)
22
(1+e'
)(1—e)=1
e=2ot—a~2a(a~1/300)
我国解放前使用海福特椭球等。
解放后,我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球,“1980国
家大地坐标系”采用“IAG75”椭球,而全球定位系统(GPS采用的是WGS-84椭球参数。
这三个椭球的元素和参数参见P2表7-1o
练习及作业:
1.阅读
1《控制测量学》上册,§
1.21.2.1、1.2.2
2《控制测量学》下册,§
7.1
2.思考
1如何理解大地水准面是测量外业的基准面?
为什么不能作为测量计算的基准面?
2如何旋转椭圆得到参考椭球?
2椭球上点的位置的确定
、椭球上点的高程位置的确定
大地高H大一一地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。
大地高可以由以下两种方法求得:
H大=H正+N
H正B点的正高高程
N大地水准面差距(见大地重力学中
H大=H常+Z
H常B点的正常高高程
斯托克司公式)
z――高程差异或高程异常(见重力测量学)
因正常高能精确求得,z亦能严密解算,故,此方法是严密的。
(注:
①大地水准面与似大地水准面很接近,在高山区最大差异不
超过土4m,在平均海水面上两面重合,即H°
正=H0常;
②B点法线与重力
线非常接近,其差异对高程的影响很小,讨论高程时可不予考虑)
二、椭球面上点的平面位置的确定
1•椭球面上的线和圈
子午圈一一包含短轴的平面与椭球面的截线;
亦称经圈,经线,子午线。
平行圈一一垂直于短轴的平面与椭球面的交线;
亦称纬圈、纬线。
最大的平行圈,即过椭球中心垂直于短
轴的平面与椭球面的交线,称为赤道。
法截面、法截线包含某点法线的平面称为法截面,法截面与椭球面的交线称为法截线。
卯酉圈一一与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。
2•椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统
1大地坐标系统(B、L)
大地经度L――过P点的子午面与起始子午面构成的两面角;
由起始子午面起算,逆转向东为正(东经0〜180°
),顺转向西为
负(西经0〜180°
);
大地纬度B――过P点的法线与赤道平面的夹角;
由赤道平面
起算,向北为正(北纬0〜90°
),向南为负(南纬0〜90°
)。
2子午面直角坐标系统(L,x,y)
L大地经度;
x,y——子午面内的平面直角坐标系统;
子午面与赤道平面的交线为x轴,椭球短轴为y轴。
3空间直角坐标系统(X,Y,Z)
o参考椭球的中心
X——起始子午面与赤道面的交线
Y在赤道面内,垂直X(右手系)
Z――与椭球短半径重合
3•坐标系统间的关系
①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系
点在两坐标中大地经度L相同,推导大地纬度B与直角坐标x,y的关系如下:
因曲线在P点处的一阶导数牡就是P点处曲线切线的斜
dx
率,即:
空二tan(B90)--cotBdx
即:
又,
对子午椭圆方程式冷•占
a2b2
=1微分,有:
因b二a・1-e2,故:
也即:
dy
dx
b2
2a
2X
-cotB--(1-e2)—y
2
y=xtanB(1—e)
将
(1)式代入椭圆方程,
得:
由
(1),
(2)两式可得:
②大地坐标系与空间直角坐标系的关系
22丄22\2
xxtanB(1-e)
1
2,2
ab
acosBa„
xcosB
.1—e2sin2BW
a(1—e)sinB
1-e2sin2B
空间M点的大地坐标为L,B,H;
其空间直角坐标为
首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下:
Xm=xmCOSL
Ym=XmsinL
(1)
Zm=ym
又,从右图可知:
Xm=Xp+HcosB=(a/W)cosB+HcosB
.2
ym=yp+HsinB=但/W)(1—e)sinB+HsinB
将
(2)代入
(1)得:
Xm=XmCOSL=(N+H)COSBCOSL
Ym=XmSinL=(N+H)cosBsinL
Zm=ym=(N-Ne+H)sinB
N=a/W
X,
Ne=ae/W
练习及作业:
1•阅读
7.2浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的(7-31)、(7-32.)、(7-34)式
2.作图并复习定义
1大地坐标系
2子午面直角坐标系
3空间直角坐标系
3.思考
1大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系?
2大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系?
3几种主要的曲率半径
、子午曲率半径M
已知,平面曲率半径公式
二、卯酉曲率半径
通过P点引两个截弧:
法截弧与斜截弧。
法截弧的曲率半径为
曲率半径为r,若法截弧与斜截弧在P点有公共切线,则r=NcosB(B为两曲率
半径的夹角)。
2•卯酉曲率半径
取法截弧为卯酉圈,斜截弧为平行圈,根据麦尼尔第二定律,有:
式中x——P点在子午面直角坐标系统中的x坐标
BP点的大地纬度
将关系式X二acosB代入上式得
韵一e2sin2B
1-e2sin2B
由上式知:
NB=o°
=a(赤道处卯酉曲率半径等于a)
N-—*(两极处卯酉曲率半径大于a)
B-0b
rx
cosBcosB
3•子午、卯酉两曲率半径的关系
当B=90°
时,仝“,即极点处
M
M=N
ecosB
21
1—e
.22
ecosB亠1
—。
—称为极半径。
bb
三、任意方向(大地方位角A)法截弧的曲率半径Ra
1•大地方位角定义
PQ方向的大地方位角Apq为:
过P点法线和Q点的平面,与P点子午面之间的夹角(由正北顺时针计)。
2•大地方位角为A的法截弧曲率半径
欧拉公式:
丄一空△•泄△
RAMN
故:
MN
RA22
NcosA+MsinA
Ra=0°
=M;
Ra=90°
=N
O
A:
0〜90°
〜180。
时,Ra:
M〜N〜M——曲率半径具有对称性,率半径。
即对称位置的法截弧在
P点有相同的曲
四、平均曲率半径R
1•平均曲率半径定义
设过P点可以做2n/"
A个法截线,各法截线的大地方位角为:
"
A,2"
A,…,2n—"
A;
过P点的各法截线曲率半径平均值为:
2-A
'
RaR10
2la
0,
则平均曲率半径
2二_A、RA
R=limRi=lim―0
2ZM2兀M
2•平均曲率半径计算公式
二2
R=4
MNdA
221
NcosA亠MsinA2二
(顾及曲率半径的对称性)
将上式改化成12dt二arctant的形式,分子、分母除以.MN,有:
」1+t2
71
R上.
0JN2.
cosA
.M
dA
sin2A
分母提取公因式
x
22MN
R二一
兀0J^cos2A(1+(悟tanA)2)
.MN
工
22.MN
—IJ—
二0M2
01(.tanA)2
\N
M1
Ncos2A
设t二MtanA,dt=M12dA,积分上下限也变,则
.NNcos2A
2、严dt2.002.兀
R=—、,'
MN[=—jMN(arctant)=—t'
MN(—
兀101+t兀o兀2
所以,平均曲率半径Rny'
7.3浏览7.3.3主曲率半径的计算;
7.3.6及表7-4、7-5
1子午曲率半径和卯酉曲率半径,当B由0〜90°
时的变化;
2子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系;
3什么是大地方位角?
—0)=JMN
4弧长的计算
一、子午线长度
由图知:
dS=MdB
口口Ic/jt222-3/2
即:
dS=a(1—e)(1—esinB)dB
子午线
P1
B2B2B222232
Sb:
=BdS=Ba(1_e)(1_esinB)_dB
2B22232
=a(1_e)(1_esinB)-dB
LB1
求积分过程:
1)将积分项用二项式定理(形如下式)展开:
(1—x)n=1—nx+(1/2!
)n(n-1)x-(1/3!
)n(n-1)(n—2)x+…
2)应用三角函数积分递推公式逐项积分(先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数,形如下式)
sinB=1/2-(cos2B)/2
3)整理合并同类项,得子午线上弧长P16,7-97式。
该式B1=0(即从赤道起算的子午弧长公式)
当弧长Sw40km,可把子午圈视为圆弧,圆的半径为其中纬度Bm=(B1+B2)/2处的子午曲率半径
Mm,则子午弧长公式为:
S=Mm(B2—B1)/p。
该式精度当Sw40km时,可达1mm。
因所处纬度B不同而不同。
二、平行圈长度
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- 椭球 面上 基本 计算