四川省内江市内江市第六中学学年高二下学期期中数学理试题解析版Word文件下载.docx
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xB.y=±
x
C.y=±
xD.y=±
分析】先求出抛物线y2=8x的焦点坐标,由此得到双曲线的一个焦点,从而求出a的值,进而得到该双曲线的渐近线方程
【详解】∵抛物线y2=8x的焦点是(2,0),∴c=2,a2=4﹣1=3,∴,∴,
D.
4.已知抛物线的焦点为F,是C上一点,,则=()
A.1B.2C.4D.8
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出.
【详解】由抛物线可得,
准线方程,
,是上一点,,.
,
解得.
.
5.已知为实数,则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
取曲线不是椭圆,充分性不成立;
反之成立.
【详解】当时,取曲线是圆而不是椭圆,故充分性不成立;
当方程表示的曲线为椭圆时,成立,所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
B
【点睛】方法点晴:
曲线表示椭圆的充要条件是:
,且.
6.如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面,,E为PC的中点,则异面直线PD与BE所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系,利用线线角的向量求法可求得结果.
【详解】以点为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则,,,,,,
设异面直线与所成角为,则.
B.
【点睛】方法点睛:
本题考查线线角的求法,利用空间向量求立体几何常考查的夹角:
设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
①两直线所成的角为(),;
②直线与平面所成的角为(),;
③二面角大小为(),
7.已知,则等于
A.-4B.-2C.1D.2
【分析】首先对f(x)求导,将1代入,求出f′
(1)的值,化简f′(x),最后将x=3代入即可.
【详解】因为f′(x)=2x+2f′
(1),
令x=1,可得
f′
(1)=2+2f′
(1),
∴f′
(1)=﹣2,
∴f′(x)=2x+2f′
(1)=2x﹣4,
当x=3,f′(3)=2.
故选D
【点睛】本题考查导数的运用,求出f′
(1)是关键,是基础题.
8.若过椭圆内一点的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】设出端点,代入椭圆,两式作差,变形,即可得到直线的斜率,再由点斜式写出直线即可.
【详解】设弦两端点为,则
①-②得即直线为
化简得
故选C
【点睛】本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线,解决本类题的思路是点差法:
设点-作差-变形,根据中点坐标,即可求出所在直线的的斜率,即可写出直线,属于基础题.
9.下面四个图象中,有一个是函数的导函数的图象,则等于()
A.B.C.或D.
【分析】先根据导函数的图像求出,代入得到,即可求出的值.
【详解】因为,所以,
所以的图像开口向上,所以应该为第三个图像,
由图像可得:
,解得:
.
由对称轴,所以,
此时:
,所以.
10.新冠肺炎肆虐全,疫情波及多个国家和地区;
一些国家宣布进入“紧急状态”,全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全,全面冲击世界经济运行,深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机,需要国际社会的通力合作,在一次国际医学学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座,为了使他们能够自由交谈,事先了解到的情况如下:
甲是中国人,还会说英语;
乙是法国人,还会说日语;
丙是英国人,还会说法语;
丁是日本人,还会说汉语;
戊是法国人,还会说德语;
则这五位代表的座位顺序应为()
A.甲丙丁戊乙B.甲丁丙乙戊
C.甲乙丙丁戊D.甲丙戊乙丁
首先从戊的国家和语言开始分析,两侧只能是乙和丙,其余顺序唯一,可得选项.
【详解】戊是法国人,还会说德语,只能用法语交流,
则两侧只能是乙和丙,乙旁边是丁,丙旁边是甲,
D.
11.若函数在上单调递增,则的取值范围是
【详解】试题分析:
对恒成立,
故,即恒成立,
即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得.故选C.
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
12.偶函数的定义域为,周期为4,导函数为.若,且,则不等式的解集为()
【分析】令,则为上的减函数,而等价于,从而可求原不等式的解集.
【详解】令,则,
故为上的减函数,
因为为周期函数且周期为4,故,所以,
故等价于,故.
A.
【点睛】本题考查函数不等式的解,注意根据题设条件和要求解的不等式的特征构造新函数,本题属于基础题.
二、填空题(共4个小题,每小题5分)
13.已知双曲线的一个焦点为,则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】由题得c=2,根据双曲线中的等式关系可求得,然后再求离心率即可.
【详解】由题可得:
c=2,,由
故离心率,
故答案为:
14.若点P是函数上任意一点,则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为_____.
【分析】结合图象可得P为与直线x﹣y﹣2=0平行且与函数f(x)相切的切线的切点,根据导数几何意义求得点P坐标,最后根据点到直线距离公式得结果.
【详解】设x﹣y+m=0与函数的图象相切于点P(x0,y0).
所以,x0>
0,解得x0=1.∴y0=1,
∴点P(1,1)到直线x﹣y﹣2=0的距离为最小距离,
点睛】本题考查导数几何意义以及点到直线距离公式,考查基本分析求解能力,属中档题.
15.设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.若直线PA与PB的斜率之积为,则椭圆的离心率为_____.
【答案】.
【分析】设点P的坐标为,代入椭圆方程,运用直线的斜率公式,化简整理,即可得到所求离心率.
【详解】设点P的坐标为.
由题意,有,①
由A(﹣a,0),B(a,0),得,.
由,可得,
代入①并整理得.
由于,故,于是,
∴椭圆的离心率.
故答案为.
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质,考查椭圆离心率的求法,是中档题.求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).
16.函数与(为常数)的图象有两个不同的交点,则实数的取值范围为_________.
题目等价于在有两个不同的解,构造函数,,利用导数判断函数的单调性,求出最值,即可求出.
【详解】与的图象有两个不同的交点,
在有两个不同的解,
即在有两个不同的解,
令,,
则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
,,
【点睛】本题考查利用导数解决函数交点问题,解题的关键是将题目等价于在有两个不同的解,利用导数求出最值求解.
三、解答题(共6个小题,共70分)
17.已知:
方程表示焦点在轴上的椭圆;
:
双曲线的实轴长大于虚轴长.若命题“”为真命题,“”为假命题,求的取值范围.
【详解】
若真,则,解得:
若真,则.
∵为真命题,为假命题
∴,中有且只有一个为真命题,即必一真一假
①若真假,则即;
②若假真,则即.
∴实数的取值范围为:
18.已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
(1)
(2)单调递减区间是单调递增区间为
【详解】分析:
(1)先求导,再求切线斜率和切点坐标,再写出切线方程.
(2)利用导数求函数的单调区间.
详解:
(1)因为
所以
所以又因为
所以曲线在点处的切线方程为即
(2)因为函数的定义域为
由得;
得
所以函数单调递减区间是单调递增区间为.
点睛:
(1)本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法,考查利用导数求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)用导数求函数的单调区间一般步骤:
求函数的定义域→求导→解不等式>0得解集→求,得函数的单调递增(减)区间.
19.已知函数在时有极值0.
(1)求常数,的值;
(2)求在区间上的最值.
(1),;
(2)最小值为0,最大值为4.
(1)已知函数在处有极值0,即,,通过求导函数,再代入列方程组,即可解得、的值;
(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最值即可.
(1),
由题知:
联立
(1)、
(2)有或.
当时在定义域上单调递增,故舍去;
所以,,经检验,符合题意.
(2)当,时,,
故方程有根或,
由得,
函数单调增区间为:
,,减区间为:
函数在取得极大值,在取得极小值;
经计算,,,,
所以函数的最小值为0,最大值为4.
【点睛】关键点睛:
解题的关键是求出后,求出,然后,利用导数求出函数的单调性、最值问题,属于基础题.
20.如图,在三棱柱中,平面,,,,点是的中点.
(1)求证:
;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
(1)证明见解析;
(2).
(1)以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,求出与,利用数量积为0证明;
(2)分别求出平面的法向量与平面的法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面与所成二面角的正弦值.
(1)建立如图空间直角坐标系.
则,,.
∴,,
∴,
∴
(2),.
设平面的一个法向量为.
令,则,.
∴.
由题易知平面的法向量,
∴平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量判定直线垂直,考查空间角的求法,考查空间想象能力以及计算能力,属于中档题.
21.已知椭圆的左
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