高考数学一轮复习单元练习圆锥曲线与方程文档格式.docx
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C.一条抛物线上D.一个圆上
图17-1
【答案】B
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2)B.(-1,2)
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
6.过点P(-3,0)的直线l与双曲线-=1交于点A,B,设直线l的斜率为k1(k1≠0),弦AB的中点为M,OM的斜率为k2(O为坐标原点),则k1·
k2=( )
A.B.C.D.16
【答案】A
7.设双曲线-=1(a>
0)的渐近线方程为3x±
2y=0,则a的值为( )
A.4B.3
C.2D.1
8.与圆x2+y2-2y-1=0关于直线x-2y-3=0对称的圆的方程是( )
A.(x-2)2+(y+3)2=
B.(x-2)2+(y+3)2=2
C.(x+2)2+(y-3)2=
D.(x+2)2+(y-3)2=2
9.若直线mx+ny=4与圆O:
x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
A.至多一个B.2
C.1D.0
10.已知双曲线-=1(a>
0,b>
0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>
0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )
A.2B.2
C.4D.4
11.已知直线与抛物线C:
相交A、B两点,F为C的焦点。
若,则k=
A.B)C.D.
12.已知直线与抛物线C:
相交A、B两点,F为C的焦点.若,则k=( )
II卷
二、填空题
13.双曲线-=1的渐近线方程为y=±
2x,则n=________.
【答案】
14.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且a>
b,则双曲线-=1的离心率e等于________.
【答案】
15.如图,过抛物线y=x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+(y-1)2=1于A、B、C、D四点,则AB·
CD=______.
【答案】1
16.椭圆的离心率为,若直线与其一个交点的横坐标为,则的值为
三、解答题
17.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
MF1⊥MF2;
(3)求△F1MF2的面积.
(1)由e=⇒=⇒c2=2a2⇒a2=b2.
设双曲线方程为x2-y2=λ,
将点(4,-)代入得:
λ=6,
故所求双曲线方程为x2-y2=6.
(2)∵c2=12,∴焦点坐标为(±
2,0)
将M(3,m)代入x2-y2=6得:
m2=3.
当m=时,=(-2-3,-),
=(2-3,-)
∴·
=(-3)2-
(2)2+(-)2=0,
∴MF1⊥MF2,
当m=-时,同理可证MF1⊥MF2.
(3)S△F1MF2=·
|2c|·
|m|=·
4·
=6.
18.如图16-3,已知点D(0,-2),过点D作抛物线C1:
x2=2py(p>
0)的切线l,切点A在第二象限,如图16-3.
(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为的椭圆+=1(a>
b>
0)恰好经过切点A,设切线l交椭圆的另一点为B,记切线l,OA,OB的斜率分别为k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求椭圆方程.
图16-3
(1)设切点A(x0,y0),且y0=,由切线l的斜率为k=,得l的方程为y=x-,又点D(0,-2)在l上,
∴=2,即切点A的纵坐标为2.
(2)由
(1)得A(-2,2),切线斜率k=-,
设B(x1,y1),切线方程为y=kx-2,由e=,得a2=4b2,
所以设椭圆方程为+=1,且过A(-2,2),
∴b2=p+4.
由⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0,
k1+2k2=+==
将k=-,b2=p+4代入得p=32,所以b2=36,a2=144,
所以椭圆方程为+=1.
19.已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点.
①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;
②已知点,求证:
为定值.
(Ⅰ)因为满足,,
。
解得,则椭圆方程为
(Ⅱ)
(1)将代入中得
因为中点的横坐标为,所以,解得
(2)由
(1)知,
所以
20.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=
(2)2+t2,解得t=1.
则圆C的半径为=3.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判别式△=56-16a-4a2>0.
由韦达定理得
x1+x2=4-a,x1x2=. ①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以
2x1x2+a(x2+x2)+a2=0.②
由①,②得a=-1,满足Δ>
0,故a=-1.
21.已知向量=(0,x),=(1,1),=(x,0),=(y2,1)(其中x,y是实数),又设向量=+,=-,且,点P(x,y)的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线与曲线C交于M、N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.
(I)由已知,
即所求曲线的方程是:
(Ⅱ)由
解得x1=0,x2=分别为M,N的横坐标).
由
所以直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0.
22.已知椭圆C:
+=1(a>
0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.
(1)求a,b的值;
(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立?
若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;
若不存在,说明理由.
(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,
其方程为x-y-c=0,O到l的距离为=,
故=,c=1.
由e==,得a=,b==.
(2)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,
有=+成立.
由
(1)知C的方程为2x2+3y2=6.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1).
C上的点P使=+成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2),且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,
整理得2x+3y+2x+3y+4x1x2+6y1y2=6.
又A、B在C上,即2x+3y=6,2x+3y=6.
故2x1x2+3y1y2+3=0.①(8分)
将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得
(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,
于是x1+x2=,x1·
x2=,
y1·
y2=k2(x1-1)(x2-1)=.
代入①解得,k2=2.此时x1+x2=.
于是y1+y2=k(x1+x2-2)=-,即P(,-).
因此,当k=-时,P(,),
l的方程为x+y-=0;
当k=时,P(,-),
l的方程为x-y-=0.
②当l垂直于x轴时,由+=(2,0)知,C上不存在点P使=+成立.
综上,C上存在点P(,±
)使=+成立,此时l的方程为x±
y-=0.
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- 高考 数学 一轮 复习 单元 练习 圆锥曲线 方程